组合与计数¶
方法速览¶
| 情形 | 方法 | 口诀 |
|---|---|---|
| 有重复元素 | 分类（全异 / 恰一对重复）或 \(\dfrac{\text{排列}}{\text{重复度阶乘}}\) | 重了要除 |
| 相邻 / 不相邻 | 捆绑 / 插空（m 个隔开物给 n+1 个空） | 隔物留空 |
| 至少一类 | 排除法：总数 − 全不满足 | 正难则反 |
| 计数容斥 | \(\|A \cup B\| = \|A\| + \|B\| - \|A\cap B\|\) | 加了减交 |
| 定位置造数 | 首位非零先特殊处理 | 首位优先 |
| 对称 / 旋转 | 倒置不变按“对称位对”逐对计数 | 成对计数 |
可重集与分类计数¶
【例】（2019 真题）用 \(1,1,2,4,8,8\) 组不同的四位数：
| 类型 | 演算 | 数量 |
|---|---|---|
| 四个互异 | 从 \(\{1,2,4,8\}\) 全取排 \(4!\) | 24 |
| 恰含 1,1 | 重复对只有 1 一种 × 其余 2 个从 \(\{2,4,8\}\) 选 \(\binom32 \times \frac{4!}{2!}\) | \(3\times12 = 36\) |
| 恰含 8,8 | 同上对称 | 36 |
| 含 1,1 与 8,8 | \(\binom42\times\frac{4!}{2!\,2!}\) 中取 \(\{1,1,8,8\}\)：\(\frac{4!}{2!\,2!} = 6\) | 6 |
合计 \(24 + 36 + 36 + 6 = 102\)（程序枚举验证 102）。
首位非零（2023 真题）：\(0\sim4\) 取 4 个不同数字组四位数——首位 4 种（非 0）、再排其余 \(4\times3\times2\)：\(4\times4\times3\times2 = 96\)。
不相邻与插空¶
【例】（2021 真题）8 个苹果挑至少一个且不相邻：
| k（挑几个） | 方案数 \(\binom{8-k+1}{k}\) |
|---|---|
| 1 | \(\binom81 = 8\) |
| 2 | \(\binom72 = 21\) |
| 3 | \(\binom63 = 20\) |
| 4 | \(\binom54 = 5\) |
合计 \(8+21+20+5 = 54\)——“8 选 k 不相邻”公式 \(\binom{9-k}{k}\)。
【例】（2025 真题）5 红 5 蓝（同色球）排一排、蓝不相邻：红排好后 6 个空隙选 5 个放蓝（同色蓝无内部排列）：\(\binom65 = 6\)。
容斥与排除¶
【例】（2019 真题）15 人数学满分、12 人语文满分、4 人双满：至少一门满分 \(= 15 + 12 - 4 = 23\)。
【例】（2025 真题）\(1\sim1000\) 不被 2、3、5 任一整除：
逐因子乘：\(1000 \times \frac12 = 500\)，\(\times\frac23 \approx 333\)，\(\times\frac45 = 266\)（精确枚举验证 266）。
对称计数：倒置不变¶
【例】（2019 真题）5 位数字车牌倒置后仍是原数：对称位 \((1,5)\)、\((2,4)\) 成对取值，中间位（第 3 位）必须自反。
| 位置 | 可取 | 数量 |
|---|---|---|
| 每个对称对 | \((0,0),(1,1),(8,8),(6,9),(9,6)\) | 5 |
| 中间位 | \(0,1,8\)（自反） | 3 |
总数 \(5\times5\times3 = 75\)；再加“被 3 整除”约束逐个筛选 = 25（枚举验证）。
位置配对计数¶
【例】（2020 真题）\(4\times4\) 棋盘选不同行不同列的两格：第一个格 16 种、第二个格去掉同行同列剩 \(9\) 种，除以重复 \(2!\)：\(\dfrac{16\times9}{2} = 72\)。
【例】（2024 真题）10 人颁金银铜（不并列）：\(A_{10}^3 = 10\times9\times8 = 720\)。
练习题目¶
练习 1 · 可重集四位数¶
题目
用 \(2, 2, 3, 5\) 四个数字能组成（ ）个不同的四位数。
- A. \(24\)
- B. \(12\)
- C. \(6\)
- D. \(4\)
答案与解析
答案：B
\(\dfrac{4!}{2!} = 12\)——两个 2 互换不产生新数。
练习 2 · 可重集含两对¶
题目
用 \(1,1,2,2\) 组成不同的四位数有（ ）个。
- A. \(4\)
- B. \(12\)
- C. \(24\)
- D. \(6\)
答案与解析
答案：D
\(\dfrac{4!}{2!\,2!} = 6\)——两对重复各除一次。
练习 3 · 分类：全异¶
题目
从 \(1,2,3,4\) 中取 3 个数字组三位数（不重复取），有（ ）个。
- A. \(64\)
- B. \(4\)
- C. \(24\)
- D. \(12\)
答案与解析
答案：C
\(A_4^3 = 4\times3\times2 = 24\)。
练习 4 · 首位非零¶
题目
用 \(0, 1, 2, 3\) 四个不同数字组四位数，有（ ）个。
- A. \(24\)
- B. \(18\)
- C. \(16\)
- D. \(12\)
答案与解析
答案：B
首位 3 种（非 0）× 其余 \(3\times2\times1\)：\(3\times6 = 18\)。
练习 5 · 首位非零（含重复）¶
题目
用 \(0, 0, 1, 2\) 组成不同的四位数有（ ）个。
- A. \(6\)
- B. \(12\)
- C. \(3\)
- D. \(9\)
答案与解析
答案：A
首位只能取 1 或 2（2 种）；余下三位排剩的含一对 0：\(\frac{3!}{2!} = 3\) 种；共 \(2\times3 = 6\)。
干扰项思路：C 只算了一种首位的情形。
练习 6 · 插空基础¶
题目
5 名男生站一排，3 名女生插入使女生互不相邻（男女各不相同），共（ ）种。
- A. \(7200\)
- B. \(14400\)
- C. \(120\)
- D. \(240\)
答案与解析
答案：B
\(5!\times A_6^3 = 120\times120 = 14400\)。
练习 7 · 同色球插空¶
题目
4 个相同的黑球与 4 个相同的白球排一排，黑球互不相邻，有（ ）种。
- A. \(10\)
- B. \(5\)
- C. \(70\)
- D. \(1\)
答案与解析
答案：B
白球排好后 5 个空选 4 个放黑球：\(\binom54 = 5\)——同色球没有内部排列。
练习 8 · 不相邻选数¶
题目
从 \(1\sim6\) 中选 2 个不相邻的数，有（ ）种。
- A. \(15\)
- B. \(6\)
- C. \(12\)
- D. \(10\)
答案与解析
答案：D
\(\binom62 - 5 = 15 - 5\)（相邻对 5 个）= \(10\)；公式 \(\binom{6-2+1}{2} = \binom52\)。
练习 9 · 不相邻选数（多取）¶
题目
从 \(1\sim8\) 中选 3 个互不相邻的数，有（ ）种。
- A. \(56\)
- B. \(20\)
- C. \(28\)
- D. \(10\)
答案与解析
答案：B
公式 \(\binom{8-3+1}{3} = \binom63 = 20\)。
练习 10 · 容斥基础¶
题目
某班 30 人，20 人喜欢数学、18 人喜欢语文、10 人都喜欢，则至少喜欢一门的（ ）人。
- A. \(48\)
- B. \(38\)
- C. \(30\)
- D. \(28\)
答案与解析
答案：D
\(20 + 18 - 10 = 28\)——都喜欢的人被加了两次，减回一次。
练习 11 · 容斥（三集合）¶
题目
\(1\sim100\) 中能被 2 或 3 整除的数有（ ）个。
- A. \(50\)
- B. \(83\)
- C. \(67\)
- D. \(33\)
答案与解析
答案：C
\(\lfloor\frac{100}{2}\rfloor + \lfloor\frac{100}{3}\rfloor - \lfloor\frac{100}{6}\rfloor = 50 + 33 - 16 = 67\)。
练习 12 · 排除法¶
题目
5 人中至少 1 人生日在 12 月的概率？先想：全不在 12 月的概率是（ ）（365 天等可能，12 月按 31 天）。
- A. \(1 - \dfrac{31}{365}\)
- B. \(\left(\dfrac{31}{365}\right)^5\)
- C. \(\dfrac{334}{365}\)
- D. \(\left(\dfrac{334}{365}\right)^5\)
答案与解析
答案：D
每人不在 12 月的概率 \(\frac{334}{365}\) 独立相乘——“至少”类先算补集。
练习 13 · 定序¶
题目
7 个字母 A、B、C、D、E、F、G 排一排，要求 A 必须在 B 的左边（不一定相邻），有（ ）种。
- A. \(2520\)
- B. \(5040\)
- C. \(1260\)
- D. \(720\)
答案与解析
答案：A
对称性：A、B 相对顺序各占一半：\(\dfrac{7!}{2} = 2520\)。
练习 14 · 环排¶
题目
6 人围圆桌（旋转同），有（ ）种坐法。
- A. \(120\)
- B. \(720\)
- C. \(360\)
- D. \(24\)
答案与解析
答案：A
\((6-1)! = 120\)。
练习 15 · 倒置对称（两位）¶
题目
两位数中，倒过来看（0、1、8 自反，6↔9）仍是合法两位数的原数有（ ）个。
- A. \(9\)
- B. \(6\)
- C. \(4\)
- D. \(25\)
答案与解析
答案：C
成对取值中 \((1,1),(8,8),(6,9),(9,6)\) 四种合法；\((0,0)\) 不是两位数——共 4 个。
干扰项思路：B 忘了 00 不是两位数。
练习 16 · 倒置对称（三位）¶
题目
三位数字串（允许前导 0）倒置后不变的有（ ）个。
- A. \(75\)
- B. \(45\)
- C. \(25\)
- D. \(15\)
答案与解析
答案：D
三位只有一对对称位（第 1、3 位）加一个中间位：\(5\times3 = 15\)。
干扰项思路：A 是五位数车牌（两对对称位）的数法。
练习 17 · 棋盘不同行列¶
题目
\(3\times3\) 棋盘选两个不同行不同列的方格，有（ ）种。
- A. \(9\)
- B. \(36\)
- C. \(18\)
- D. \(12\)
答案与解析
答案：C
\(\dfrac{9\times4}{2} = 18\)：第一格 9 种、第二格剩 \(4\) 个合法位置，除以 \(2!\)。
练习 18 · 颁奖排列¶
题目
8 名选手决出冠亚季军（不并列），有（ ）种结果。
- A. \(336\)
- B. \(512\)
- C. \(56\)
- D. \(24\)
答案与解析
答案：A
\(A_8^3 = 8\times7\times6 = 336\)。
练习 19 · 组队不编号¶
题目
8 人组成 4 个两人小队（不区分队号），有（ ）种。
- A. \(210\)
- B. \(28\)
- C. \(105\)
- D. \(2520\)
答案与解析
答案：C
\(\dfrac{C_8^2\,C_6^2\,C_4^2\,C_2^2}{4!} = \dfrac{28\times15\times6\times1}{24} = 105\)。
练习 20 · 车牌计数¶
题目
车牌后 5 位：前 2 位大写字母、后 3 位数字（可重复），共（ ）个。
- A. \(676000\)
- B. \(52000\)
- C. \(67600\)
- D. \(1757600\)
答案与解析
答案：A
\(26^2\times10^3 = 676000\)——分步相乘。
练习 21 · 环形染色¶
题目
用 3 种颜色给排成一排的 5 个格子染色，相邻不同色，有（ ）种。
- A. \(3\times2^4\)
- B. \(3^5\)
- C. \(3\times2^3\)
- D. \(2^5\)
答案与解析
答案：A
第 1 格 3 种、之后每格只需避开前一格 2 种：\(3\times2^4 = 48\)。
练习 22 · 乘法原理¶
题目
从 \(0\sim9\) 取 3 个可重复的数字组成密码，共（ ）个。
- A. \(1000\)
- B. \(720\)
- C. \(120\)
- D. \(504\)
答案与解析
答案：A
每位独立 10 种：\(10^3 = 1000\)——可重复是幂次，不重复才是排列。
练习 23 · 求和计数¶
题目
骰子掷两次，点数之和为 7 的情形有（ ）种。
- A. \(36\)
- B. \(5\)
- C. \(7\)
- D. \(6\)
答案与解析
答案：D
\((1,6),(2,5),\dots,(6,1)\) 共 6 种——和为 7 最多的对称轴。
练习 24 · 隔板变式¶
题目
10 个相同的糖果分给 4 个小朋友，每人至少 1 个，有（ ）种。
- A. \(56\)
- B. \(84\)
- C. \(120\)
- D. \(28\)
答案与解析
答案：B
\(C_{9}^{3} = 84\)——9 个缝插 3 块板。
练习 25 · 奇偶定位¶
题目
用 \(1,2,3,4,5\) 组成无重复数字的五位奇数，有（ ）个。
- A. \(48\)
- B. \(120\)
- C. \(72\)
- D. \(60\)
答案与解析
答案：C
先定个位（1,3,5 共 3 种），再排前四位 \(4!\)：\(3\times24 = 72\)——受限位置优先。
练习 26 · 全错排¶
题目
3 封信装进 3 个信封全装错（derangement），有（ ）种。
- A. \(2\)
- B. \(3\)
- C. \(1\)
- D. \(6\)
答案与解析
答案：A
\(D_3 = 2\)（如 1→2→3→1 与 1→3→2→1）——全错排 \(D_n = (n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\)。
历年真题¶
2019 年 · 第 6 题¶
题目
由数字 \(1,1,2,4,8,8\) 所组成的不同的 \(4\) 位数的个数是（ ）。
- A. \(98\)
- B. \(104\)
- C. \(102\)
- D. \(100\)
答案与解析
答案：C
分类：全异 \(24\) + 恰一对 1（\(36\)）+ 恰一对 8（\(36\)）+ 两对（\(6\)）= \(102\)（完整分类表见教学节，枚举验证一致）。
2019 年 · 第 9 题¶
题目
一些数字可以颠倒过来看，例如 \(0\)、\(1\)、\(8\) 颠倒过来还是本身，\(6\) 颠倒过来是 \(9\)，\(9\) 颠倒过来看还是 \(6\)，其他数字颠倒过来都不构成数字。类似的，一些多位数也可以颠倒过来看，比如 \(106\) 颠倒过来是 \(901\)。假设某个城市的车牌只有 \(5\) 位数字，每一位都可以取 \(0\) 到 \(9\)。请问这个城市有多少个车牌倒过来恰好还是原来的车牌，并且车牌上的 \(5\) 位数能被 \(3\) 整除？（ ）
- A. \(20\)
- B. \(25\)
- C. \(30\)
- D. \(40\)
答案与解析
答案：B
先数倒置不变：两对称对各 5 种（\((0,0),(1,1),(8,8),(6,9),(9,6)\)）、中间位 3 种 → \(5\times5\times3 = 75\)；再筛被 3 整除（枚举验证）= 25。
2019 年 · 第 10 题¶
题目
一次期末考试，某班有 \(15\) 人数学得满分，有 \(12\) 人语文得满分，并且有 \(4\) 人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？（ ）
- A. \(21\)
- B. \(23\)
- C. \(22\)
- D. \(20\)
答案与解析
答案：B
容斥：\(15 + 12 - 4 = 23\)——双满分的人被数了两遍。
2020 年 · 第 13 题¶
题目
从一个 \(4\times4\) 的棋盘中选取不在同一行也不在同一列上的两个方格，共有（ ）种方法。
- A. \(60\)
- B. \(72\)
- C. \(86\)
- D. \(64\)
答案与解析
答案：B
第一格 16 种、去掉同行同列剩 9 种、除以 \(2!\)：\(\frac{16\times9}{2} = 72\)。
2021 年 · 第 13 题¶
题目
有 \(8\) 个苹果从左到右排成一排，你要从中挑选至少一个苹果，并且不能同时挑选相邻的两个苹果，一共有（ ）种方案。
- A. \(36\)
- B. \(48\)
- C. \(54\)
- D. \(64\)
答案与解析
答案：C
按挑的个数 k 求和：\(\binom81 + \binom72 + \binom63 + \binom54 = 8+21+20+5 = 54\)（公式 \(\binom{9-k}{k}\)，完整表见教学节）。
2022 年 · 第 10 题¶
题目
共有 \(8\) 人选修了程序设计课程，期末大作业要求由 \(2\) 人组成的团队完成。假设不区分每个团队内 \(2\) 人的角色和作用，请问共有多少种可能的组队方案。（ ）
- A. \(28\)
- B. \(32\)
- C. \(56\)
- D. \(64\)
答案与解析
答案：A
\(\binom82 = 28\)——单队不涉及除序，直接组合。
2022 年 · 第 11 题¶
题目
小明希望选到形如 省A·LLDDD 的车牌号。车牌号在 · 之前的内容固定不变；后面的 \(5\) 位号码中，前 \(2\) 位必须是大写英文字母，后 \(3\) 位必须是阿拉伯数字（\(L\) 代表 A 至 Z，\(D\) 代表 0 至 9，两个 \(L\) 和三个 \(D\) 之间可能相同也可能不同）。总共有多少个可供选择的车牌号？（ ）
- A. \(20280\)
- B. \(52000\)
- C. \(676000\)
- D. \(1757600\)
答案与解析
答案：C
\(26^2 \times 10^3 = 676000\)——可重复、分步相乘。
2023 年 · 第 2 题¶
题目
从 \(0,1,2,3,4\) 中选取 \(4\) 个数字，能组成（ ）个不同四位数。（注：最小的四位数是 \(1000\)，最大的四位数是 \(9999\)。）
- A. \(96\)
- B. \(18\)
- C. \(120\)
- D. \(84\)
答案与解析
答案：A
首位非 0：\(4\times4\times3\times2 = 96\)（首位 4 种、余下从剩 4 个数排 3 位）。
2024 年 · 第 4 题¶
题目
在一场比赛中，有 \(10\) 名选手参加，前三名将获得金、银、铜牌。若不允许并列，且每名选手只能获得一枚奖牌，则不同的颁奖方式共有多少种？
- A. \(120\)
- B. \(720\)
- C. \(504\)
- D. \(1000\)
答案与解析
答案：B
金银铜是三个不同名次：\(A_{10}^3 = 720\)。
2025 年 · 第 1 题¶
题目
有 \(5\) 个红色球和 \(5\) 个蓝色球，它们除了颜色之外完全相同。将这 \(10\) 个球排成一排，要求任意两个蓝色球都不能相邻，有多少种不同的排列方法？
- A. \(25\)
- B. \(30\)
- C. \(6\)
- D. \(120\)
答案与解析
答案：C
同色球无内部排列：5 个红球固定后形成 6 个空隙，选 5 个放蓝球 \(\binom65 = 6\)。
2025 年 · 第 13 题¶
题目
\(1\) 到 \(1000\) 之间，不能被 \(2\)、\(3\)、\(5\) 中任意一个数整除的整数有多少个？
- A. \(267\)
- B. \(266\)
- C. \(333\)
- D. \(734\)
答案与解析
答案：B
逐步筛：\(1000\times\frac12 = 500\)（去偶）\(\times\frac23\approx333\)（去 3 的倍数）\(\times\frac45 = 266\)；精确容斥枚举验证 266。
易错小结¶
- 重复元素分类（全异 / 单对 / 双对）再相加，或直接 \(\dfrac{n!}{\prod n_i!}\)（2019 真题 102）；
- 首位非零优先定首位（2023 真题 96）；
- 不相邻选数公式 \(\binom{n-k+1}{k}\) 按个数求和（2021 真题 54）；
- 同色球没有内部排列：插空只选位置 \(\binom65 = 6\)（2025 真题）；
- 容斥“加、减交”（2019 真题 23 人；2025 真题 266 个）；
- 倒置对称按对称位对计数：每对 5 种、中间自反 3 种（2019 真题 75 → 整除筛 25）；
- 不同行列两格 \(\dfrac{n^2(n-1)^2}{2}\)（4×4 → 72）；颁奖 \(A_{10}^3\)（720）。