算法模板库 · 竞赛大纲总览¶

学习卷课程大纲

J 34 课 + S 24 课 · 教学链顺序

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NOI 大纲 · 入门级

CSP-J · 难度系数 1~5

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NOI 大纲 · 提高级

CSP-S · 难度系数 5~8

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NOI 大纲 · NOI 级

NOI / CTS · 难度系数 7~10

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GESP C++ 一至八级

编程能力等级认证

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学习卷课程大纲（J 34 课 + S 24 课）¶

阶段一 · 语言基础（16 课）¶

课号	主题	覆盖词条	知识点	先修	状态
J-L34	计算机与 NOI 基础常识	KJ-1~6/9/10/11/12	计算机基本构成、操作系统、网络与 Internet、计算机历史、NOI 历史与规则、图形界面文件操作、Windows/Linux IDE、g++ 基本使用	—（行序第一课）	⬜
J-L01	程序编译与运行	KJ-⅞/13d	位、字节与字；程序设计语言与编译运行基本概念；编辑、编译、解释、调试	—	✅
J-L02	程序基本概念	KJ-13a/b/c/e	标识符/关键字/常量/变量/表达式、头文件与名字空间、预处理与宏	L01	✅
J-L03	基本数据类型	KJ-14a~e	int/long long、float/double、char、bool、枚举 enum	L02	⬜
J-L04	输入输出与顺序	KJ-15a/18a	cin/scanf/cout/printf、赋值与复合语句；顺序/分支/循环三大结构	L02	⬜
J-L05	运算符与表达式	KJ-16a~e/17	算术/关系/逻辑运算、自增自减、三目运算；数学库函数	L03/L04	⬜
J-L06	分支结构	KJ-15b/18c	if、switch、多层条件语句；流程图	L05	⬜
J-L07	循环结构	KJ-15c/d/18b	for/while/do while、多层循环；模块化程序设计	L05/L06	⬜
J-L08	位运算	KJ-16f	位运算 `&` `\\|` `~` `^` `<<` `>>`	L05	⬜
J-L09	数组	KJ-19a~c	数组与下标、数组读写、二维与多维数组	L03/L07	⬜
J-L10	字符串	KJ-20a/b	字符数组及相关函数、string 类及相关函数	L09	⬜
J-L11	函数	KJ-21a~c	函数定义与调用、形参实参、传值与传引用、作用范围	L05/L09	⬜
J-L12	结构体与联合体	KJ-22a/b	结构体、联合体	L09/L11	⬜
J-L13	指针与引用	KJ-23a~e	指针、指针访问数组、字符指针、结构体指针、引用	L09	⬜
J-L14	文件读写	KJ-24a~c	文件基本概念与文本读写、文本/二进制类型、文件重定向	L04/L10	⬜
J-L15	STL 入门	KJ-25a/b	min/max/swap/sort；stack、queue、list、vector 容器	L03/L09	⬜

阶段二 · 数据结构（4 课）¶

课号	主题	覆盖词条	知识点	先修	状态
J-L16	链表	KJ-26a	单链表、双向链表、循环链表	L15/L09	⬜
J-L17	栈与队列	KJ-26b/c	栈、队列	L16	⬜
J-L18	二叉树	KJ-27a~i	树的定义/表示/存储、二叉树定义性质/存储/前中后序遍历、完全二叉树及数组表示、哈夫曼树与编码、二叉搜索树	L16	⬜
J-L19	图存储与表示	KJ-28a/b	图的表示与存储：邻接矩阵、邻接表	L17/L09	⬜

阶段三 · 算法（11 课）¶

课号	主题	覆盖词条	知识点	先修	状态
J-L20	算法概念与复杂度直觉	KJ-29	算法概念、自然语言/流程图/伪代码描述；复杂度分析（逐层计数、循环定级、调和级数/筛法级数）、10⁸ 估算	L07/L09	⬜
J-L21	枚举与模拟	KJ-30	枚举法、模拟法	L20	⬜
J-L24	递归与递推	KJ-31b/c/21d	递推法、递归法、递归函数	L11/L09	⬜
J-L23	排序	KJ-34a~e	排序基本概念、冒泡/选择/插入/计数排序	L09/L15	⬜
J-L22	查找与二分	KJ-31d/31e	二分法、倍增法	L20/L23	⬜
J-L25	贪心	KJ-31a	贪心法	L20/L23	⬜
J-L26	搜索	KJ-35	深度优先搜索 DFS、广度优先搜索 BFS	L24/L17	⬜
J-L27	图论遍历与泛洪	KJ-36a~c	图的 DFS/BFS 遍历、泛洪算法 Flood Fill	L19/L26	⬜
J-L28	动态规划入门	KJ-37a~d	DP 基本思路、简单一维 DP、背包型 DP、区间型 DP（基础版）	L24/L25/L09	⬜
J-L29	前缀和与差分	KJ-32a/b	前缀和、差分	L09	⬜
J-L30	高精度	KJ-33a~d	高精度加/减/乘法、高精度整数除以单精度整数的商和余数	L10/L24	⬜

阶段四 · 数学（3 课）¶

课号	主题	覆盖词条	知识点	先修	状态
J-L31	进制与编码	KJ-38/42	数及其运算、进制与进制转换、原码反码补码、格雷码、大小端字节序；ASCII、UTF/Unicode/Base64	L03/L05	⬜
J-L32	初等数论	KJ-40	取整、模运算与取余、整数唯一分解定理、辗转相除法、素数筛（埃氏/线性）	L07/L31	⬜
J-L33	离散与组合数学	KJ-41/39	集合、加法/乘法原理、排列、组合、杨辉三角；初中代数与几何	L31/L32	⬜

S 侧 · 提高级（24 课）¶

课号	主题	覆盖词条	知识点	先修	状态
S-L24	Linux 环境与编译调试	KS-43~47	Linux 终端文件与目录命令、文本编辑工具、g++ 常用编译选项、time 查看用时、GDB 调试	—（建议 S 第一课）	⬜
S-L01	类与对象	KS-48	类的概念与简单应用、成员函数与运算符重载、继承/多态/虚函数	J 语法基础	⬜
S-L02	STL 全量	KS-49	容器与迭代器、pair/tuple、set/multiset、deque/priority_queue、map/multimap、bitset、常用算法函数	J-L15	⬜
S-L03	线性结构进阶	KS-50	双端栈、双端队列、单调队列、优先队列、ST 表	J-L17	⬜
S-L04	集合与森林·并查集	KS-51	并查集、树的孩子兄弟表示法	J-L24/L25 思想	⬜
S-L05	特殊树	KS-52	二叉堆、树状数组、线段树、字典树 Trie、笛卡尔树、平衡树（AVL/Treap/Splay）	S-L03	⬜
S-L06	常见图	KS-53	偶图（二分图）、欧拉图、有向无环图、连通与强连通、双连通、握手定理与顶点度数	J-L19	⬜
S-L07	哈希表	KS-54	数值哈希函数构造、字符串哈希函数构造、哈希冲突处理、随机数 rand	J-L10	✅
S-L08	复杂度分析	KS-55a/b	时间复杂度分析、空间复杂度分析	J-L20	⬜
S-L09	分治	KS-57a/58a/58b	分治算法、归并排序、快速排序	J-L24	⬜
S-L10	排序进阶	KS-58c/d/e	堆排序、桶排序、基数排序	S-L09/S-L05	⬜
S-L11	离散化与扫描线	KS-56a/d	离散化、扫描线	S-L08/J-L23	⬜
S-L12	贪心进阶	KS-61a 思想/哈夫曼	贪心思想进阶、哈夫曼树应用	J-L25/S-L05	⬜
S-L13	搜索进阶	KS-55c/d/56b/c/60a	记忆化搜索、启发式搜索、双向 BFS、迭代加深搜索、剪枝优化	J-L26/S-L08	⬜
S-L14	最短路	KS-61b/c/d	单源最短路（Bellman-Ford/Dijkstra/SPFA）、单源次短路、Floyd-Warshall	J-L19/S-L08/S-L03	⬜
S-L15	MST 与拓扑	KS-61a/e	最小生成树（Prim/Kruskal）、DAG 拓扑排序	S-L04/S-L14	⬜
S-L16	图论进阶	KS-61f/g/h/i	欧拉道路与欧拉回路、二分图判定、强连通分量、割点与割边	S-L14/S-L15	⬜
S-L17	树的高级算法	KS-61j/k/l	树的重心/直径/DFS 序/欧拉序、树上差分/子树和/倍增、最近公共祖先 LCA	S-L16/J-L22	⬜
S-L18	动态规划进阶	KS-62a~f	多维 DP、树形 DP、状态压缩 DP、DP 常用优化、LCS、LIS	J-L28	⬜
S-L19	字符串算法	KS-59a/b	字符串匹配 KMP、Manacher 算法	J-L10/S-L07	✅
S-L20	数论算法	KS-64a~i	同余式、欧拉定理与欧拉函数、费马小定理、威尔逊定理、裴蜀定理、逆元、扩展欧几里得、中国剩余定理、快速幂	J-L32	⬜
S-L21	初等数学	KS-63	高中代数、高中几何	J 数学基础	⬜
S-L22	离散与组合进阶	KS-65	多重集合、等价关系与等价类、多重集排列/组合、错排列与圆排列、鸽巢原理、二项式定理、容斥原理、卡特兰数、最少硬币找零、命题逻辑	J-L33	⬜
S-L23	线性代数	KS-66	向量与矩阵概念、向量运算、矩阵初等变换、矩阵运算、特殊矩阵、高斯消元	S-L22	⬜

NOI 大纲 2025 · 入门级（CSP-J）¶

难度系数：🟢 1~2 ｜ 🟡 3 ｜ 🟠 4~5

2.1.1 基础知识与编程环境（12 项，均 🟢 1）¶

知识点	难度
计算机的基本构成（CPU、内存、I/O 设备）	🟢 1
Windows、Linux 等操作系统的基本概念及常见操作	🟢 1
计算机网络和 Internet 的基本概念	🟢 1
计算机的历史和常见用途	🟢 1
NOI 以及相关活动的历史	🟢 1
NOI 以及相关活动的规则	🟢 1
位、字节与字	🟢 1
程序设计语言以及程序编译和运行的基本概念	🟢 1
图形界面新建、复制、删除、移动文件或目录	🟢 1
Windows IDE（Dev-C++ 等）	🟢 1
Linux IDE（Code::Blocks 等）	🟢 1
g++ 编译命令的基本使用	🟢 1

2.1.2 C++ 程序设计¶

知识块	知识点	难度
程序基本概念	标识符、关键字、常量、变量、字符串、表达式；常量与变量的命名、定义及作用	🟢 1
程序基本概念	头文件与名字空间的概念	🟢 2
程序基本概念	编辑、编译、解释、调试的概念	🟢 2
基本数据类型	整数型 int、long long；实数型 float、double；字符型 char；布尔型 bool	🟢 1
程序基本语句	cin/scanf/cout/printf、赋值语句、复合语句	🟢 2
程序基本语句	if、switch、多层条件语句	🟢 2
程序基本语句	for、while、do while 语句	🟢 2
程序基本语句	多层循环语句	🟡 3
基本运算	算术运算；关系运算；逻辑运算；自增自减；三目运算	🟢 1
基本运算	位运算：&、\|、~、^、<<、>>	🟢 2
数学库常用函数	绝对值、四舍五入、取整、平方根、三角、对数、指数函数	🟡 3
结构化程序设计	顺序结构、分支结构和循环结构	🟢 1
结构化程序设计	自顶向下逐步求精的模块化设计；流程图	🟢 2
数组	数组与下标、数组的读入与输出	🟢 1
数组	二维数组与多维数组	🟡 3
字符串的处理	字符数组与相关函数；string 类与相关函数	🟢 2
函数与递归	函数定义与调用、常量与变量的作用范围、递归函数	🟢 2
函数与递归	传值参数与传引用参数	🟡 3
结构体与联合体	结构体、联合体	🟡 3
指针与引用	指针、基于指针的数组访问、字符指针、指向结构体的指针	🟠 4
指针与引用	引用	🟠 5
文件及基本读写	文件基本概念与文本操作、文本/二进制类型、文件重定向与读写	🟢 2
STL 模板	min、max、swap、sort	🟡 3
STL 模板	栈、队列、链表、向量等容器	🟠 4

2.1.3 数据结构¶

知识点	难度
链表：单链表、双向链表、循环链表	🟡 3
栈、队列	🟡 3
树的定义与相关概念	🟡 3
树的表示与存储	🟠 4
二叉树的定义与基本性质	🟡 3
二叉树的表示与存储	🟠 4
二叉树的遍历：前序、中序、后序	🟠 4
完全二叉树的定义与基本性质	🟠 4
完全二叉树的数组表示法	🟠 4
哈夫曼树的定义和构造、哈夫曼编码	🟠 4
二叉搜索树的定义和构造	🟠 4
图的定义与相关概念	🟡 3
图的表示与存储：邻接矩阵	🟠 4
图的表示与存储：邻接表	🟠 4

2.1.4 算法¶

知识点	难度
算法概念	🟢 1
算法描述：自然语言、流程图、伪代码	🟢 2
枚举法、模拟法	🟢 1
贪心法	🟡 3
递推法	🟡 3
递归法	🟠 4
二分法	🟠 4
倍增法	🟠 4
前缀和	🟡 3
差分	🟠 4
高精度的加法、减法、乘法	🟠 4
高精度整数除以单精度整数的商和余数	🟠 4
排序的基本概念、冒泡、选择、插入、计数排序	🟡 3
深度优先搜索 DFS	🟠 5
广度优先搜索 BFS	🟠 5
图的深度优先遍历	🟠 4
图的广度优先遍历	🟠 4
泛洪算法 Flood Fill	🟠 5
动态规划的基本思路	🟠 4
简单一维动态规划	🟠 4
简单背包类型动态规划	🟠 5
简单区间类型动态规划	🟠 5

2.1.5 数学与其他¶

知识点	难度
自然数、整数、有理数、实数及其算术运算	🟢 1
进制与进制转换：二、八、十、十六进制	🟢 1
代数（初中部分）、几何（初中部分）	🟢 1
整除、因数、倍数、指数、质（素）数、合数	🟡 3
取整	🟡 3
模运算与取余	🟡 3
整数唯一分解定理	🟡 3
辗转相除法（欧几里得算法）	🟡 3
素数筛法：埃氏筛法与线性筛法	🟠 4
集合	🟢 2
加法原理、乘法原理	🟢 2
排列、组合、杨辉三角	🟠 4
ASCII 码	🟢 2

NOI 大纲 2025 · 提高级（CSP-S）¶

提高级自动包含入门级全部知识点；新增条目如下。

2.2.1 基础知识与编程环境（5 项，均 🟠 5）¶

知识点	难度
Linux 系统终端中常用的文件与目录操作命令	🟠 5
Linux 系统下常见文本编辑工具的使用	🟠 5
常用编译命令 g++ 与相关编译选项	🟠 5
终端运行程序、time 命令查看程序用时	🟠 5
调试工具 GDB 的使用	🟠 5

2.2.2 C++ 程序设计¶

知识块	知识点	难度
类（class）	类的概念及简单应用；成员函数和运算符重载	🔴 6
STL 模板	容器（container）和迭代器（iterator）；对 pair、元组 tuple	🟠 5
STL 模板	集合 set、多重集合 multiset；双端队列 deque、优先队列 priority_queue；映射 map、多重映射 multimap；位集合 bitset	🟠 5
STL 模板	算法模板库中的常用函数	🟠 5

2.2.3 数据结构¶

知识块	知识点	难度
线性结构	双端栈、双端队列、单调队列	🟠 5
线性结构	优先队列、ST 表（Sparse Table）	🔴 6
集合与森林	并查集；树的孩子兄弟表示法	🔴 6
特殊树	二叉堆；树状数组；线段树；字典树 Trie	🔴 6
特殊树	笛卡尔树	🟣 7
特殊树	平衡树：AVL、Treap、Splay 等	🟣 8
常见图	稀疏图	🟠 5
常见图	偶图（二分图）、欧拉图、有向无环图	🔴 6
常见图	连通图与强连通图、双连通图	🟣 7
哈希表	数值哈希函数构造	🟠 5
哈希表	字符串哈希函数构造；哈希冲突的常用处理方法	🔴 6

2.2.4 算法¶

知识块	知识点	难度
复杂度分析	时间复杂度分析；空间复杂度分析	🔴 6
算法策略	离散化	🔴 6
算法策略	扫描线	🟣 7
基础算法	分治算法	🔴 6
排序算法	归并排序、快速排序、桶排序	🟠 5
排序算法	堆排序、基数排序	🔴 6
字符串算法	字符串匹配：KMP 算法	🔴 6
字符串算法	Manacher 算法	🟣 7
搜索算法	搜索的剪枝优化；记忆化搜索	🔴 6
搜索算法	启发式搜索；双向广度优先搜索；迭代加深搜索	🟣 7
图论算法	最小生成树：Prim 和 Kruskal 等	🔴 6
图论算法	单源最短路：Bellman-Ford、Dijkstra、SPFA 等	🔴 6
图论算法	单源次短路	🟣 7
图论算法	Floyd-Warshall 算法	🔴 6
图论算法	有向无环图的拓扑排序；欧拉道路和欧拉回路；二分图的判定	🔴 6
图论算法	强连通分量；割点、割边	🟣 7
图论算法	树的重心、直径、DFS 序与欧拉序；树上差分、子树和与倍增；最近公共祖先 LCA	🔴 6
动态规划	多维动态规划；树型动态规划	🔴 6
动态规划	状态压缩动态规划	🟣 7
动态规划	动态规划的常用优化	🟣 8

2.2.5 数学与其他¶

知识块	知识点	难度
初等数学	代数（高中部分）	🟠 5
初等数学	几何（高中部分）	🔴 6
初等数论	同余式	🟠 5
初等数论	欧拉定理和欧拉函数；费马小定理；威尔逊定理；裴蜀定理；模运算意义下的逆元；扩展欧几里得算法；中国剩余定理	🟣 7
离散与组合数学	多重集合；等价关系与等价类；多重集上的排列与组合；错排列、圆排列；鸽巢原理；二项式定理	🔴 6
离散与组合数学	容斥原理；卡特兰（Catalan）数	🟣 7
线性代数	向量与矩阵的概念	🟠 5
线性代数	向量的运算；矩阵的初等变换；矩阵的运算；特殊矩阵的概念	🔴 6
线性代数	高斯消元法	🟣 7

NOI 大纲 2025 · NOI 级（概述）¶

难度系数 7~10（🟣 7~8 ｜ ⚫ 9~10，其中【10】仅用于 CTS 集训队选拔）。

知识块	知识点（难度系数）
C++ 程序设计	面向对象的程序设计思想 OOP【8】
数据结构 · 线性结构	块状链表【8】
数据结构 · 复杂树	树链剖分【8】、动态树 LCT【10】、树套树【9】、k-d 树【9】、虚树【8】
数据结构 · 可合并堆	左偏树【8】、二项堆【10】
数据结构 · 可持久化	可持久化线段树【8】、其他可持久化数据结构【9】
算法 · 策略	分块【8】、离线处理思想【8】、复杂分治思想【9】、平衡规划思想【9】、构造思想【9】
算法 · 字符串	扩展 KMP【8】、有穷自动机的概念【8】、AC 自动机【8】、后缀数组【8】、后缀树【9】、后缀自动机【10】
算法 · 图论	基环树【8】、最小树形图【10】、2-SAT【8】、网络流【8】、支配集/独立集/覆盖集【10】、匈牙利算法【8】、KM 算法【10】、一般图的匹配【10】
算法 · 动态规划	复杂动态规划模型的构建【9】、复杂动态规划模型的优化【9】
数学 · 初等数论	原根和指数【8】、BSGS 算法【8】、狄利克雷卷积【9】、二次剩余【10】、二次同余式【10】
数学 · 离散与组合	群及其基本性质【9】、置换群与循环群【9】、母函数【9】、莫比乌斯反演【9】、Burnside 引理与 Pólya 定理【9】、斯特林数【9】、无根树的 Prüfer 序列【9】
数学 · 线性代数	逆矩阵【9】、行列式【9】、向量空间与线性相关【9】、基与线性基【9】
数学 · 高等数学	多项式函数的微分【8】、积分【8】、泰勒级数【10】、快速傅里叶变换【10】
数学 · 概率论	概率的基本概念【8】、期望与方差【9】、条件概率【9】、贝叶斯公式【9】
数学 · 博弈论	尼姆（Nim）博弈【9】、SG 函数【9】
数学 · 最优化	单纯形法【10】
数学 · 计算几何	点线面位置关系判定【8】、一般图形面积计算【8】、二维凸包【8】、半平面交【9】
数学 · 信息论与其他	熵与互信息等【10】；信息/描述/通讯复杂度的概念【10】

GESP C++ 编程能力等级认证（一至八级）¶

级别	核心知识内容（C++）	对应本站课程
一级	计算机基础与编程环境、计算机历史、变量、基本数据类型、控制语句结构（顺序/循环/选择）、基本运算、输入输出语句	J-L01~L07
二级	计算机的存储与网络、程序设计语言特点、流程图、ASCII 编码、类型转换、多层分支/循环、常用数学函数	J-L03~L07、J-L31
三级	数据编码（原码/反码/补码）、进制转换、位运算、算法的概念与描述、一维数组、字符串及其函数、枚举法、模拟法	J-L08~L10、J-L21、J-L31
四级	函数、形参与实参/作用域、指针、结构体、二维与多维数组、递推算法、排序（冒泡/插入/选择）与稳定性、复杂度估算、文件重定向与读写、异常处理	J-L09、J-L11~L14、J-L20、J-L23、J-L24
五级	初等数论、数组模拟高精度四则运算、单/双/循环链表、二分查找与二分答案、递归、贪心算法、分治（归并/快排）、复杂度估算（多项式/对数）	J-L16、J-L22、J-L24、J-L25、J-L30、J-L32
六级	树的定义/构造/遍历、哈夫曼树与编码、完全二叉树、二叉排序树、格雷编码、DFS/BFS、简单动态规划（一维 DP、简单背包）、面向对象与类、栈/队列/循环队列	J-L17~L19、J-L26、J-L28、S-L01、J-L31
七级	数学库常用函数（三角/对数/指数）、复杂动态规划（二维 DP、区间 DP、LIS、LCS、滚动数组优化）、图的定义及遍历、泛洪算法、哈希表	J-L27、J-L28、J-L29、S-L07、S-L19
八级	计数原理、排列与组合、杨辉三角、倍增法、代数与平面几何（初中）、图论算法综合应用（最小生成树、单源最短路）、复杂算法效率分析、算法优化	J-L22、J-L25、J-L31~L33、S-L14、S-L15