排列组合¶

方法速览¶

情形	公式	口诀
排列（挑了还要排）	\(A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}\)	排列有序
组合（只挑不排）	\(C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)	组合无序
联系	\(A_n^k = C_n^k \times k!\)	先挑后排
相邻	捆绑：整体数 × 捆内排	先捆后排
不相邻	插空：排别人、插空隙	先排后插
至少 / 至多	排除法：总数 − 不合要求	正难则反
相同物分组	隔板：非空 \(C_{n-1}^{m-1}\)、允空 \(C_{n+m-1}^{m-1}\)	插板分组

排列与组合：\(A_n^k\) 与 \(C_n^k\)¶

对比	排列 \(A_n^k\)	组合 \(C_n^k\)
做什么	取 k 个排成一列	只选出 k 个
顺序	有关（有序）	无关（无序）
公式	\(\dfrac{n!}{(n-k)!}\)	\(\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)
例：5 人选 2	当正副班长 \(5\times4 = 20\)	一同参会 \(C_5^2 = 10\)

联系与常用结论：

\(A_n^k = C_n^k \times k!\)——先“挑”再“排挑出来的”；
\(C_n^0 = C_n^n = 1\)，\(C_n^1 = C_n^{n-1} = n\)；
对称性 \(C_n^k = C_n^{n-k}\)——大下标先化简（\(C_{10}^8\) 先变 \(C_{10}^2 = 45\)）；
杨辉递推 \(C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^{k}\)——按“选不选最后一个元素”分类。

五大套路¶

捆绑法 —— 必须相邻¶

【是什么】 把必须挨在一起的元素捆成一个整体参加排列。

【怎么算】

捆成一个“大元素”；
大元素与其余元素一起全排列；
捆内部自己再排一次；
两数相乘。

【例】（2021 真题）5 男 3 女站一排，3 女必须相邻：

步骤	演算
捆	3 女绑成 1 个大元素
外排	6 个元素全排列 \(6! = 720\)
内排	捆内 \(3! = 6\)
相乘	\(720 \times 6 = 4320\)

插空法 —— 必须不相邻¶

【是什么】 不能挨着的元素，先安排没有限制的，再把受限的插进空隙。

【怎么算】

先排无限制的元素；
数空隙：n 个人排好后共 \(n+1\) 个空（含两端）；
受限元素选空隙插入——有序插用 \(A\)，无序插用 \(C\)。

【例】 5 男 3 女站一排，3 女互不相邻：

步骤	演算
排男	\(5! = 120\)
数空	_ 男 _ 男 _ 男 _ 男 _ 男 _ → 共 6 个空
插女	\(A_6^3 = 120\)
相乘	\(120 \times 120 = 14400\)

隔板法 —— 相同物品分组¶

【是什么】 n 个相同的名额分给 m 个不同的班，名额没有区别，用“插板”把一行名额切开。

【怎么算】

要求	做法	公式
每份至少 1	n 个球一行，中间 \(n-1\) 缝插 \(m-1\) 板	\(C_{n-1}^{m-1}\)
允许空	先每份借 1 个凑成非空	\(C_{n+m-1}^{m-1}\)

【例】（2020 真题）10 个名额分 7 个班、每班至少 1 个：

步骤	演算
排一行	10 个名额，中间 9 个缝
插板	6 块板：\(C_9^6 = C_9^3 = 84\)

抽屉原理 —— “保证有”的最值¶

【是什么】 n 个物品放进 k 个抽屉，必有一个抽屉至少 \(\lceil n/k \rceil\) 个。

【怎么算】 反证：若每个抽屉都不超过 \(\lceil n/k \rceil - 1\) 个，总数不足 n，矛盾。

【例】（2019 真题）52 张牌 4 种花色抽 13 张：

步骤	演算
假设	每种花色至多 3 张
上限	\(3 \times 4 = 12 < 13\)，矛盾
结论	至少 \(\lceil 13/4 \rceil = 4\) 张同花色

排除法（正难则反）—— “至少一个”¶

【是什么】 “至少有一个满足”正面分类太碎时，反着算：用总数减去全不满足的——这个手法叫排除法（正难则反）。

【怎么算】 排除法：至少 1 女 = 全体选法 − 全男选法。

【例】（2023 真题）10 男 12 女选 3 人、至少 1 女：

步骤	演算
总数	\(C_{22}^3 = 1540\)
减去全男	全男 \(C_{10}^3 = 120\)
相减	\(1540 - 120 = 1420\)

小球四模型¶

n 个球放 m 个箱子，“球是否相同 × 箱是否相同”是分水岭：

模型	允许空	不允许空
相同球 → 不同箱	\(C_{n+m-1}^{m-1}\)	\(C_{n-1}^{m-1}\)（隔板）
不同球 → 不同箱	\(m^n\)	\(m!\,S(n,m)\)
不同球 → 相同箱	\(S(n,m)\)（第二类斯特林数）	\(S(n,m)\)
相同球 → 相同箱	整数划分（至多 m 份）	恰 m 份的划分

【例】（2019 真题）8 个相同球放 5 个相同袋子、允空——球同箱同 = 整数划分，按最大份分类枚举：

最大份	列举	计数
8	8	1
7	7+1	1
6	6+2，6+1+1	2
5	5+3，5+2+1，5+1+1+1	3
4	4+4，4+3+1，4+2+2，4+2+1+1，4+1+1+1+1	5
3	3+3+2，3+3+1+1，3+2+2+1，3+2+1+1+1	4
2	2+2+2+2，2+2+2+1+1	2

合计 \(1+1+2+3+5+4+2 = 18\) 种。若袋子互不相同则是 \(C_{8+5-1}^{5-1} = C_{12}^4 = 495\)——“箱同不同”是本题题眼。

网格路径¶

【是什么】 从 \((1,1)\) 只向右/向下走到 \((r,c)\)，一条路径就是一个“右/下步”的排列。

【怎么算】

总步数固定：\((r-1)\) 右 \(+ (c-1)\) 下；
选哪几步向右 → \(C_{r+c-2}^{r-1}\)。

【例】（2025 真题）\((1,1) \to (4,5)\)：

步骤	演算
总步数	3 右 + 4 下 = 7 步
选右	\(C_7^3 = 35\)

可重集排列¶

【是什么】 元素有重复时，交换两个相同的元素不产生新排列。

【怎么算】 全排列 ÷ 各重复组阶乘：\(\dfrac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots}\)。

【例】（2021 真题）用 \(1,1,2,2,3\) 组三位数：

类型	演算	数量
三个互异	\(1,2,3\) 各取一个排：\(3!\)	6
恰一对重复	重复对（2 选 1）× 单数字（2 选 1）× 排列 \(\frac{3!}{2!}\)	\(2\times2\times3 = 12\)
三个全同	数字各只有 2 个，不存在	0

合计 \(6 + 12 = 18\) 种。

对称构造¶

环形排列：旋转视为相同 → \((n-1)!\)；
项链：再除翻转 → \((n-1)!/2\)；
定序：n 个元素里 k 个指定先后 → \(n!/k!\)。

练习题目¶

练习 1 · 排列的意义¶

题目

从 5 名同学中选 2 人分别当班长和副班长，共有（）种方案。

A. \(10\)
B. \(5\)
C. \(25\)
D. \(20\)

答案与解析

答案：D

班长、副班长是两个不同位置：\(A_5^2 = 5\times4 = 20\)。

练习 2 · 组合的意义¶

题目

从 5 名同学中选 2 人参加志愿者活动（无分工），共有（）种方案。

A. \(20\)
B. \(10\)
C. \(25\)
D. \(40\)

答案与解析

答案：B

只挑人不分工：\(C_5^2 = 10\)——与上题差 \(2!\) 倍。

练习 3 · A 与 C 的换算¶

题目

\(A_n^k\) 与 \(C_n^k\) 的关系是（）

A. \(A_n^k = C_n^k + k!\)
B. \(A_n^k = C_n^k \times k!\)
C. \(A_n^k = \dfrac{C_n^k}{k!}\)
D. 无关系

答案与解析

答案：B

先挑出 k 个（\(C_n^k\)），再把它们排列（\(k!\)）。

练习 4 · 常用组合值¶

题目

\(C_{10}^8\) 的值是（）

A. \(90\)
B. \(45\)
C. \(80\)
D. \(20\)

答案与解析

答案：B

\(C_{10}^8 = C_{10}^2 = 45\)——对称性 \(C_n^k = C_n^{n-k}\) 先化简再算。

练习 5 · 杨辉递推¶

题目

递推式 \(C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^{k}\) 对应的分类标准是（）

A. 排列还是组合
B. 从大到小排
C. 是否有重复
D. 第 n 个元素选不选

答案与解析

答案：D

选第 n 个 → 从剩下挑 \(k-1\) 个；不选 → 从剩下挑 k 个。

练习 6 · 捆绑法¶

题目

4 男 2 女站一排，2 女必须相邻，共（）种排法。

A. \(360\)
B. \(240\)
C. \(120\)
D. \(720\)

答案与解析

答案：B

捆成整体：5 个元素 \(5! = 120\)，捆内 \(2! = 2\) → 240。

练习 7 · 捆绑（三人）¶

题目

A、B、C、D、E、F 六人站一排，A、B、C 三人必须相邻，共（）种。

A. \(24\)
B. \(4320\)
C. \(720\)
D. \(144\)

答案与解析

答案：D

捆后 4 个元素 \(4! = 24\)，捆内 \(3! = 6\) → 144。

练习 8 · 插空法¶

题目

5 男 3 女站一排，3 女互不相邻，共（）种。

A. \(14400\)
B. \(4320\)
C. \(7200\)
D. \(120\)

答案与解析

答案：A

先排男 \(5!\)；6 个空隙选 3 个有序插入 \(A_6^3\)：\(120\times120 = 14400\)。

练习 9 · 空隙数¶

题目

n 个人站成一排形成（）个空隙（含两端）可供插入。

A. \(n\)
B. \(n - 1\)
C. \(n + 1\)
D. \(2n\)

答案与解析

答案：C

n 人之间 \(n-1\) 个缝 + 两端 2 个 = \(n+1\) 个位置——插空法的起点。

练习 10 · 隔板法（非空）¶

题目

把 8 个相同的苹果分给 3 个小朋友，每人至少 1 个，共（）种分法。

A. \(28\)
B. \(21\)
C. \(56\)
D. \(36\)

答案与解析

答案：B

\(C_{8-1}^{3-1} = C_7^2 = 21\)——7 个缝插 2 块板。

练习 11 · 隔板法（允许空）¶

题目

把 8 个相同的苹果分给 3 个小朋友，允许有人不分，共（）种。

A. \(21\)
B. \(28\)
C. \(45\)
D. \(36\)

答案与解析

答案：C

允许空 = 先每人借 1 个再要求非空：\(C_{8+3-1}^{3-1} = C_{10}^2 = 45\)。

练习 12 · 抽屉原理¶

题目

抽屉里有 4 种颜色的袜子各 10 只（左右不分），至少取（）只保证有 2 只同色。

A. \(4\)
B. \(2\)
C. \(8\)
D. \(5\)

答案与解析

答案：D

最坏先取 4 只各一色，第 5 只必与某只同色（“至少 k+1 只同在”= \(k\times\)抽屉数 \(+ 1\)）。

练习 13 · 抽屉（商加一）¶

题目

13 张牌分给 4 个盒子，至少有一个盒子有（）张。

A. \(3\)
B. \(5\)
C. \(4\)
D. \(2\)

答案与解析

答案：C

\(\lceil 13/4 \rceil = 4\)：若每盒 \(\le 3\) 最多 12 张，矛盾。

练习 14 · 排除法¶

题目

从 6 名男生中选 3 人，至少含指定的甲同学，有（）种。

A. \(10\)
B. \(20\)
C. \(5\)
D. \(40\)

答案与解析

答案：A

排除法：\(C_6^3 - C_5^3 = 20 - 10 = 10\)；正面验算“甲 + 从其余 5 人挑 2 个”\(C_5^2 = 10\) 一致。

干扰项思路：B 是没减“不含甲”的总数。

练习 15 · 不同球不同箱¶

题目

3 个不同的小球放入 5 个不同的箱子（允许空），共（）种放法。

A. \(125\)
B. \(243\)
C. \(60\)
D. \(10\)

答案与解析

答案：A

每个球独立挑箱子：\(5^3 = 125\)——乘法原理。

练习 16 · 相同球不同箱¶

题目

5 个相同的小球放入 3 个不同的箱子（允许空），共（）种。

A. \(21\)
B. \(10\)
C. \(6\)
D. \(27\)

答案与解析

答案：A

\(C_{5+3-1}^{3-1} = C_7^2 = 21\)——隔板法允空版。

练习 17 · 环排¶

题目

5 人围成一圈（旋转视为相同），共（）种坐法。

A. \(120\)
B. \(24\)
C. \(60\)
D. \(12\)

答案与解析

答案：B

环形排列 \((5-1)! = 24\)——每个状态被旋转 \(n\) 次重复计数，除掉 \(n\)。

练习 18 · 定序除法¶

题目

6 个字母 A、A、B、B、C、D 排成一列，共（）种不同排列。

A. \(720\)
B. \(360\)
C. \(180\)
D. \(240\)

答案与解析

答案：C

\(\dfrac{6!}{2!\times2!} = \dfrac{720}{4} = 180\)——两个 A 互换、两个 B 互换不产生新排列。

练习 19 · 可重集选三位数¶

题目

用 \(1, 1, 2, 2, 3\) 组成不同的三位数，共（）个。

A. \(18\)
B. \(15\)
C. \(12\)
D. \(24\)

答案与解析

答案：A

分类：三个数字互异（\(1,2,3\)）\(3! = 6\)；恰一对重复（\(11x\) 型 \(x\in\{2,3\}\)、\(22x\) 型 \(x\in\{1,3\}\)，各 \(\frac{3!}{2!} = 3\) 个）：\(4\times3 = 12\)；合计 18。

练习 20 · 组队不编号¶

题目

6 个人两两组队，共 3 队，不区分队伍编号，共（）种组法。

A. \(90\)
B. \(30\)
C. \(45\)
D. \(15\)

答案与解析

答案：D

\(\dfrac{C_6^2 C_4^2 C_2^2}{3!} = \dfrac{15\times6\times1}{6} = 15\)——除以队伍的顺序 \(3!\)。

练习 21 · 网格路径¶

题目

从 \((1,1)\) 走到 \((4,5)\)，每步向右或向下，共（）条路径。

A. \(35\)
B. \(20\)
C. \(56\)
D. \(10\)

答案与解析

答案：A

共 \(3+4 = 7\) 步选 3 步向下：\(C_7^3 = 35\)。

练习 22 · 网格路径（小规模枚举）¶

题目

从 \((1,1)\) 走到 \((3,3)\) 的路径数是（）

A. \(8\)
B. \(4\)
C. \(6\)
D. \(12\)

答案与解析

答案：C

\(C_4^2 = 6\)（右右下下、右下右下……共 6 种排列）。

练习 23 · 逆向网格¶

题目

从 \((1,1)\) 到 \((5,3)\) 与从 \((1,1)\) 到 \((3,5)\) 的路径数（）

A. 相等（都是 \(C_6^2 = 15\)，行列对称）
B. 前者多
C. 后者多
D. 无法比较

答案与解析

答案：A

\(C_{4+2}^{2} = 15\) 两者相同——把“右”和“下”互换即互相映射。

练习 24 · 手套配对¶

题目

五副不同颜色手套（每副左右各 1 只），取 6 只恰好配成两副，共（）种。

A. \(120\)
B. \(180\)
C. \(150\)
D. \(30\)

答案与解析

答案：A

选 2 副各取全（\(C_5^2 = 10\)，贡献 4 只）；再从余下 3 副 6 只中取 2 只不成对：\(C_6^2 - 3 = 12\)；共 \(10\times12 = 120\)。

练习 25 · 分类加法原理¶

题目

从甲地到乙地有 3 趟火车、2 班飞机；从乙地到丙地有 4 趟大巴。甲到丙（经乙）的方案共（）种。

A. \(24\)
B. \(5\)
C. \(9\)
D. \(20\)

答案与解析

答案：D

分步相乘：\((3+2)\times4 = 20\)——先加（两类到乙方式）后乘（两段路程）。

练习 26 · 至多型（排除法）¶

题目

掷 3 枚硬币，“至少 1 枚正面”的概率是（）

A. \(\dfrac{7}{8}\)
B. \(\dfrac{3}{4}\)
C. \(\dfrac{1}{2}\)
D. \(\dfrac{1}{8}\)

答案与解析

答案：A

排除法：全反只有 \(\dfrac{1}{8}\) → \(1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}\)——“至少”类先想排除法。

历年真题¶

2019 年 · 第 7 题¶

题目

把 \(8\) 个同样的球放在 \(5\) 个同样的袋子里，允许有的袋子空着不放，问共有多少种不同的分法？（）

提示：如果 \(8\) 个球都放在一个袋子里，无论是哪个袋子，都只算同一种分法。

A. \(24\)
B. \(18\)
C. \(20\)
D. \(22\)

答案与解析

答案：B

球同、袋同 = 整数划分：把 8 拆成至多 5 份，完整枚举表见“小球四模型”一节，共 18 种。若袋子互不相同则是 \(C_{12}^4 = 495\)（隔板允空）——“袋同不同”是本题题眼。

2019 年 · 第 12 题¶

题目

一副纸牌除掉大小王有 \(52\) 张牌，四种花色，每种花色 \(13\) 张。假设从这 \(52\) 张牌中随机抽取 \(13\) 张纸牌，则至少（）张牌的花色一致。

A. \(4\)
B. \(2\)
C. \(5\)
D. \(3\)

答案与解析

答案：A

抽屉原理：\(\lceil 13/4 \rceil = 4\)。若每种花色至多 3 张，总共至多 12 张 < 13，矛盾。

2020 年 · 第 14 题¶

题目

\(10\) 个三好学生名额分配到 \(7\) 个班级，每个班级至少有一个名额，一共有（）种不同的分配方案。

A. \(84\)
B. \(72\)
C. \(56\)
D. \(504\)

答案与解析

答案：A

名额相同、班级不同、每班至少 1：隔板法 \(C_{10-1}^{7-1} = C_9^6 = C_9^3 = 84\)。

2020 年 · 第 15 题¶

题目

有五副不同颜色的手套（共 \(10\) 只手套，每副手套左右手各 \(1\) 只），一次性从中取 \(6\) 只手套，请问恰好能配成两副手套的不同取法有（）种。

A. \(120\)
B. \(180\)
C. \(150\)
D. \(30\)

答案与解析

答案：A

分步：恰好两副成对——选哪两副 \(C_5^2 = 10\)（这 4 只全取）；剩下 2 只来自其余 3 副 6 只且不成对：\(C_6^2 - 3 = 12\)；\(10\times12 = 120\)。

2021 年 · 第 10 题¶

题目

\(6\) 个人，\(2\) 个人组一队，总共组成 \(3\) 队，不区分队伍的编号。不同的组队情况有（）种。

A. \(10\)
B. \(15\)
C. \(30\)
D. \(20\)

答案与解析

答案：B

依次挑队再消掉队伍顺序：\(\dfrac{C_6^2\,C_4^2\,C_2^2}{3!} = \dfrac{15\times6\times1}{6} = 15\)——“分组不编号”要除以组数阶乘。

2021 年 · 第 12 题¶

题目

由 \(1\)，\(1\)，\(2\)，\(2\)，\(3\) 这五个数字组成不同的三位数有（）种。

A. \(18\)
B. \(15\)
C. \(12\)
D. \(24\)

答案与解析

答案：A

按重复情况分类：互异 \(3! = 6\)；一对重复 \(4\times\dfrac{3!}{2!} = 12\)（\(11x\)、\(22x\) 各两种 x 取值、每种 3 个排列）；共 18。

2023 年 · 第 11 题¶

题目

一个班级有 10 个男生和 12 个女生。如果要选出一个 3 人的小组，并且小组中必须至少包含 1 个女生，那么有多少种可能的组合？（）

A. \(1420\)
B. \(1770\)
C. \(1540\)
D. \(2200\)

答案与解析

答案：A

排除法：\(C_{22}^3 - C_{10}^3 = 1540 - 120 = 1420\)。分类正面算（1 女 2 男 + 2 女 1 男 + 3 女）也对但麻烦：“至少”先想排除法。

2024 年 · 第 14 题¶

题目

有 \(5\) 个男生和 \(3\) 个女生站成一排，规定 \(3\) 个女生必须相邻。问有多少种不同的排列方式？（）

A. \(4320\) 种
B. \(5040\) 种
C. \(3600\) 种
D. \(2880\) 种

答案与解析

答案：A

捆绑法：3 女捆成 1 个整体，\(6! = 720\)；捆内 \(3! = 6\)；共 \(720\times6 = 4320\)。

2025 年 · 第 6 题¶

题目

从 \(5\) 位男生和 \(4\) 位女生中选出 \(4\) 人组成一个学习小组，要求学习小组中男生和女生都有。有多少种不同的选举方法？（）

A. \(126\)
B. \(121\)
C. \(120\)
D. \(100\)

答案与解析

答案：C

排除法：\(C_9^4 - C_5^4 - C_4^4 = 126 - 5 - 1 = 120\)（减全男、减全女）。

2025 年 · 第 11 题¶

题目

一个 \(8 \times 8\) 的棋盘，左上角坐标为 \((1,1)\)，右下角为 \((8,8)\)。一个机器人从 \((1,1)\) 出发，每次只能向右或向下走一格。要到达 \((4,5)\)，有多少种不同的路径？（）

A. \(20\)
B. \(35\)
C. \(56\)
D. \(70\)

答案与解析

答案：B

网格路径：\((4-1)+(5-1) = 7\) 步里选 3 步向下：\(C_7^3 = 35\)。

易错小结¶

有序用 A、无序用 C；\(A = C\times k!\)；
捆绑“捆内也要排”；插空先数空隙（n 人 n+1 空）；分组不编号除以组数阶乘；
相同物分组用隔板（非空 \(C_{n-1}^{m-1}\)、允空 \(C_{n+m-1}^{m-1}\)）；不同球入不同箱才是 \(m^n\)；
球同箱同 = 整数划分，只能按最大份分类枚举（2020 真题 8 球 5 袋 = 18）；
“至少”先想排除法（正难则反），“保证”先想抽屉最坏情况；
重复元素排列 \(\dfrac{n!}{\prod n_i!}\)；环形排列 \((n-1)!\)；
网格路径 \(C_{\Delta r + \Delta c}^{\Delta r}\)。