进制转换¶

方法速览¶

任务	方法	口诀
十进制 → R 进制	整数：除 R 取余倒着读；小数：乘 R 取整正着读	整数倒、小数正
R 进制 → 十进制	按权展开（小数位权值为 \(R^{-k}\)）	各位乘权再相加
二进制 ↔ 八进制	3 位一组（两端补零）	三位一撇
二进制 ↔ 十六进制	4 位一组（两端补零）	四位一撇
跨进制混合运算	全部先转十进制，算完再转回去	先统一，再计算

练习题目¶

练习 1 · 二进制转十进制¶

题目

\(101101_2\) = （）

A. \(43\)
B. \(44\)
C. \(45\)
D. \(46\)

答案与解析

答案：C

按权展开：\(32+8+4+1 = 45\)。

练习 2 · 二进制（含小数）转十进制¶

题目

\(11.01_2\) = （）

A. \(3.5\)
B. \(3.25\)
C. \(3.75\)
D. \(3.125\)

答案与解析

答案：B

\(11_2 = 3\)，\(.01_2 = 0.25\)；小数点后第 2 位权值是 \(2^{-2} = 0.25\)。

练习 3 · 十进制转二进制¶

题目

\(45_{10}\) = （）

A. \(110111_2\)
B. \(101011_2\)
C. \(111001_2\)
D. \(101101_2\)

答案与解析

答案：D

短除法：\(45 = 32 + 8 + 4 + 1 = 101101_2\)。

练习 4 · 十进制（含小数）转二进制¶

题目

\(6.25_{10}\) 转成二进制数是（）

A. \(110.01_2\)
B. \(101.1_2\)
C. \(110.1_2\)
D. \(11.01_2\)

答案与解析

答案：A

整数 \(6 = 110_2\)；小数 \(0.25\) 乘 2 取整：\(0.25\to0.5\to1.0\) 取 \(01\) → \(110.01_2\)。

练习 5 · 八进制转十进制¶

题目

\(127_8\) = （）

A. \(79\)
B. \(87\)
C. \(97\)
D. \(107\)

答案与解析

答案：B

\(1\times64 + 2\times8 + 7 = 64+16+7 = 87\)。

练习 6 · 十六进制转十进制¶

题目

\(2F_{16}\) = （）

A. \(27\)
B. \(42\)
C. \(47\)
D. \(57\)

答案与解析

答案：C

\(2\times16 + 15 = 32+15 = 47\)（F = 15）。

练习 7 · 十进制转十六进制¶

题目

\(200_{10}\) 转成十六进制数是（）

A. \(B8_{16}\)
B. \(D8_{16}\)
C. \(C9_{16}\)
D. \(C8_{16}\)

答案与解析

答案：D

短除法：\(200 = 12\times16 + 8\)，商 \(12 = C\)、余 \(8\) → \(C8_{16}\)。

练习 8 · 二进制转八进制¶

题目

\(11011_2\) 转成八进制数是（）

A. \(63_8\)
B. \(36_8\)
C. \(31_8\)
D. \(33_8\)

答案与解析

答案：D

3 位分组（左补零）：011 | 011 → \(3\)、\(3\) → \(33_8\)。

练习 9 · 二进制（含小数）转十六进制¶

题目

\(11101.011_2\) 转成十六进制数是（）

A. \(7D.6_{16}\)
B. \(1D.6_{16}\)
C. \(E7.6_{16}\)
D. \(7E.6_{16}\)

答案与解析

答案：B

整数部分 4 位一组（左补零）：0001 | 1101 → \(1D\)；小数部分 .011 右补零成 .0110 → \(.6\)；合计 \(1D.6_{16}\)。

练习 10 · 八进制转二进制¶

题目

\(345_8\) 转成二进制数是（）

A. \(011100011_2\)
B. \(11100101_2\)
C. \(110100101_2\)
D. \(011100101_2\)

答案与解析

答案：D

每一位八进制展开成 3 位二进制：\(3\to011\)，\(4\to100\)，\(5\to101\)，拼接 \(011100101\)。

练习 11 · 十六进制转二进制¶

题目

\(2F_{16}\) 转成二进制数是（）

A. \(101111_2\)
B. \(101011_2\)
C. \(110111_2\)
D. \(101101_2\)

答案与解析

答案：A

每一位十六进制展开成 4 位二进制：\(2\to0010\)，\(F\to1111\)，拼接（去前导零）\(101111\)。

练习 12 · 八进制加法¶

题目

\(245_8 + 167_8\) = （）

A. \(334_8\)
B. \(434_8\)
C. \(443_8\)
D. \(424_8\)

答案与解析

答案：B

转十进制：\(245_8 = 165\)，\(167_8 = 119\)，和 = \(284\)；再转回八进制 \(284 = 4\times64 + 3\times8 + 4 = 434_8\)。

练习 13 · 十六进制加法¶

题目

\(1F_{16} + 2A_{16}\) = （）

A. \(3A_{16}\)
B. \(48_{16}\)
C. \(59_{16}\)
D. \(49_{16}\)

答案与解析

答案：D

\(1F = 31\)，\(2A = 42\)，和 = \(73\)；\(73 = 4\times16 + 9 = 49_{16}\)。

练习 14 · 跨进制混合运算¶

题目

计算 \(A_{16} \times 2_8 - 11_2\) 的十进制值（）

A. \(14\)
B. \(17\)
C. \(18\)
D. \(20\)

答案与解析

答案：B

统一转十进制：\(A_{16} = 10\)，\(2_8 = 2\)，\(11_2 = 3\)；\(10\times2 - 3 = 17\)（混合运算先统一转十进制，再按运算顺序计算）。

练习 15 · 表示范围¶

题目

8 位无符号二进制数能表示的最大十进制数是（）

A. \(127\)
B. \(128\)
C. \(255\)
D. \(256\)

答案与解析

答案：C

8 位全 1：\(2^8 - 1 = 255\)。若是 8 位有符号补码则范围是 \(-128 \sim 127\)——审题注意“无符号”。

练习 16 · 位权概念¶

题目

二进制数小数点后第 3 位的位权是（）

A. \(0.125\)
B. \(0.25\)
C. \(0.05\)
D. \(0.625\)

答案与解析

答案：A

小数点后权值依次是 \(2^{-1} = 0.5\)、\(2^{-2} = 0.25\)、\(2^{-3} = 0.125\)。

练习 17 · 跨进制比较大小¶

题目

下列四个数中最大的是（）

A. \(1010_2\)
B. \(12_8\)
C. \(11_{16}\)
D. \(10_{10}\)

答案与解析

答案：C

统一转十进制：\(1010_2 = 10\)，\(12_8 = 10\)，\(11_{16} = 17\)，\(10_{10} = 10\) → \(11_{16}\) 最大。

练习 18 · 前导零¶

题目

\(00010110_2\) = （）

A. \(44\)
B. \(11\)
C. \(23\)
D. \(22\)

答案与解析

答案：D

前导零不影响数值：\(10110_2 = 16 + 4 + 2 = 22\)。

练习 19 · 二进制中 1 的个数¶

题目

\(1011011_2\) 中共有（）个 1。

A. \(4\)
B. \(5\)
C. \(6\)
D. \(7\)

答案与解析

答案：B

逐位数：1-0-1-1-0-1-1，共 5 个 1。

练习 20 · 十进制转八进制¶

题目

\(100_{10}\) 转成八进制数是（）

A. \(144_8\)
B. \(124_8\)
C. \(140_8\)
D. \(104_8\)

答案与解析

答案：A

短除法：\(100 = 1\times64 + 4\times8 + 4 = 144_8\)。

练习 21 · 十进制小数转八进制¶

题目

\(0.5_{10}\) 转成八进制数是（）

A. \(0.8_8\)
B. \(0.25_8\)
C. \(0.4_8\)
D. \(0.5_8\)

答案与解析

答案：C

乘 8 取整：\(0.5 \times 8 = 4.0\)，取 \(4\)，余 \(0\) 结束 → \(0.4_8\)。

干扰项：A 中数字 8 在八进制里不存在（数字必须小于进制）；B 是按二进制算的 \(0.1_2\) 的十进制值；D 以为小数部分不用变。

练习 22 · 二进制（含小数）转八进制¶

题目

\(11.011_2\) 转成八进制数是（）

A. \(3.3_8\)
B. \(6.3_8\)
C. \(3.6_8\)
D. \(3.1_8\)

答案与解析

答案：A

整数部分左补零成 011 = \(3\)；小数部分恰好 3 位一组：.011 = \(3\) → \(3.3_8\)。

干扰项：B 整数部分补成了 110（补零方向反了，整数往左补）；C 小数部分按 4 位一组（那是十六进制的做法）；D 按 2 位一组。

练习 23 · 能否精确表示¶

题目

下列十进制小数中，能被二进制精确表示的是（）

A. \(0.1\)
B. \(0.2\)
C. \(0.6\)
D. \(0.375\)

答案与解析

答案：D

乘 2 取整：\(0.375\to0.75(0)\to1.5(1)\to1.0(1)\)，余数归零 → \(0.011_2\) 精确。

干扰项：A/B/C 乘 2 取整永远不归零（如 \(0.6\to0.1001\,1001\dots\) 循环）——遇到循环说明二进制无法精确表示该小数。

练习 24 · 十六进制减法¶

题目

\(3A_{16} - 1C_{16}\) = （）

A. \(24_{16}\)
B. \(1D_{16}\)
C. \(1E_{16}\)
D. \(2E_{16}\)

答案与解析

答案：C

转十进制：\(3A = 58\)，\(1C = 28\)，差 = \(30\)；\(30 = 16 + 14\) → \(1E_{16}\)。

干扰项：B 逐位相减时忘记借位（\(A - C\) 不够减，要向十位借 1：\(1A_{16} - C = 26 - 12 = 14 = E\)）。

练习 25 · 进制的数字约束¶

题目

若某个 R 进制数中出现了数字 9，则 R 至少是（）

A. \(8\)
B. \(9\)
C. \(10\)
D. \(16\)

答案与解析

答案：C

R 进制的数字范围是 \(0 \sim R-1\)，要容纳数字 9 需 \(R - 1 \ge 9\)，即 \(R \ge 10\)。

干扰项：B 误以为“出现 9 就是 9 进制”——9 进制最大数字是 8。

练习 26 · 反求进制¶

题目

已知 \((110)_n = 12_{10}\)，则 n = （）

A. \(2\)
B. \(3\)
C. \(4\)
D. \(5\)

答案与解析

答案：B

按权展开：\(n^2 + n = 12\)，解得 \(n = 3\)（舍去 \(n = -4\)）。

干扰项：A 二进制 \(110_2 = 6\)；C 四进制 \(110_4 = 20\)。

历年真题¶

2020 年 · 第 9 题¶

题目

二进制数 \(1011\) 转换成十进制数是（）。

A. \(11\)
B. \(10\)
C. \(13\)
D. \(12\)

答案与解析

答案：A

按权展开：\(1011_2 = 8 + 2 + 1 = 11\)。

2021 年 · 第 7 题¶

题目

二进制数 \(101.11\) 对应的十进制数是（）。

A. \(6.5\)
B. \(5.5\)
C. \(5.75\)
D. \(5.25\)

答案与解析

答案：C

小数点后的权值是负次幂：\(101.11_2 = 4 + 1 + 0.5 + 0.25 = 5.75\)。

易错

小数点后第 \(k\) 位的权值是 \(R^{-k}\)（二进制为 \(0.5, 0.25, 0.125\dots\)），不是 \(2^k\)。

2022 年 · 第 13 题¶

题目

八进制数 \(32.1\) 对应的十进制数是（）。

A. \(24.125\)
B. \(24.250\)
C. \(26.125\)
D. \(26.250\)

答案与解析

答案：C

\(32.1_8 = 3\times8 + 2 + 1\times0.125 = 26.125\)。八进制小数末位的权值是 \(8^{-1} = 0.125\)。

2023 年 · 第 2 题¶

题目

八进制数 \(12345670_8\) 和 \(07654321_8\) 的和为（）。

A. \(22222221_8\)
B. \(21111111_8\)
C. \(22111111_8\)
D. \(22222211_8\)

答案与解析

答案：D

八进制加法逢八进一，逐位相加：

  12345670
+ 07654321
──────────
= 22222211

进位链一路传递（从右数第 2 位的 \(7+2\) 开始，逢八进一）。

2023 年 · 第 9 题¶

题目

数 \(101010_2\) 和 \(166_8\) 的和为（）。

A. \(10110000_2\)
B. \(236_8\)
C. \(158_{10}\)
D. \(A0_{16}\)

答案与解析

答案：D

两个数进制不同——先统一转十进制再相加：\(101010_2 = 42\)，\(166_8 = 118\)；\(42 + 118 = 160 = A0_{16}\)。

易错

不同进制的数不能直接相加——先统一转成十进制（或同一进制）再运算。

2024 年 · 第 2 题¶

题目

计算 \((14_8 - 1010_2) \times D_{16} - 1101_2\) 的结果，并选择答案的十进制值：（）

A. \(13\)
B. \(14\)
C. \(15\)
D. \(16\)

答案与解析

答案：A

四个数分别转十进制：\(14_8 = 12\)，\(1010_2 = 10\)，\(D_{16} = 13\)，\(1101_2 = 13\)；代入 \((12-10)\times13-13 = 13\)。

2025 年 · 第 13 题¶

题目

十进制数 \(720_{10}\) 和八进制数 \(270_8\) 的和用十六进制表示是多少？

A. \(388_{16}\)
B. \(3DE_{16}\)
C. \(288_{16}\)
D. \(990_{16}\)

答案与解析

答案：A

\(270_8 = 2\times64 + 7\times8 = 184\)；\(720 + 184 = 904\)；\(904 = 3\times256 + 8\times16 + 8 = 388_{16}\)。

易错小结¶

小数转换：小数点后权值为 \(R^{-1}, R^{-2}, \dots\) 负次幂（2021、2022 两年连考）；
循环判定：乘 R 取整永远不归零（循环）= 该进制无法精确表示这个小数；
混合运算：不同进制不能直接算，先统一转十进制（2024）；
八进制加法：逐位相加、逢八进一（2023）；
十六进制字母 A~F 对应 \(10 \sim 15\)。