原码、反码、补码¶
方法速览¶
| 任务 | 方法 | 口诀 |
|---|---|---|
| 正数求三码 | 原码 = 反码 = 补码（符号位 0） | 正数三码相同 |
| 负数求反码 | 符号位不变，数值位按位取反 | 符号不动，其余取反 |
| 负数求补码 | 反码末位加 1 | 反码加一 |
| 补码 → 原码 | 与正向同一套操作（取反加一 / 快捷法） | 来回通用 |
| n 位范围 | 补码 \([-2^{n-1},\ 2^{n-1}-1]\)；无符号 \([0,\ 2^{n}-1]\) | 负多一个 |
三种编码规则¶
最高位是符号位：0 表示正数、1 表示负数；其余位是数值位。
以 8 位为例（\(53 = 32+16+4+1 = 0110101_2\)）：
| 真值 | 原码 | 反码 | 补码 |
|---|---|---|---|
| \(+53\) | 00110101 |
00110101 |
00110101 |
| \(-53\) | 10110101 |
11001010 |
11001011 |
| \(+0\) | 00000000 |
00000000 |
00000000 |
| \(-0\) | 10000000 |
11111111 |
00000000 |
| \(-128\) | 无法表示 | 无法表示 | 10000000 |
看表得三条结论：
- 正数：三码完全相同，不需要任何变换；
- 负数：反码 = 原码数值位取反（符号位不动）；补码 = 反码 + 1；
- \(-0\) 的补码加 1 后回到
00000000——补码里 0 唯一，省下的10000000正好拿去表示 \(-128\)，所以负数比正数多一个。
互转方法与快捷法¶
正向：求 \(-53\) 的三码（分三步）
- 写绝对值的 8 位二进制，符号位改 1：\(53 = 0110101_2\) → 原码
10110101 - 符号位不变、数值位取反：
0101101 → 1010010→ 反码11001010 - 反码末位加 1：
11001010 + 1→ 补码11001011
逆向：补码 → 原码的快捷法
从右往左找到第一个 1：它自己和它右边的位不动，它左边除符号位外的位取反。
例：补码 11010100 求原码——从右数第 3 位是第一个 1：
| 符号位 | 左 4 位 | 右 3 位 | |
|---|---|---|---|
| 补码 | 1 |
1010 |
100 |
| 处理 | 不变 | 取反 → 0101 |
不变 |
| 原码 | 1 |
0101 |
100 |
原码 10101100 = \(-(32+8+4) = -44\)。
快捷法来回通用（原码→补码、补码→原码同一套），验证：\(-44\) 原码 10101100 → 数值位取反 1010011 → 加 1 1010100 → 补码 11010100，回到出发值。
补码的意义¶
减法变加法。 有了补码，CPU 只需要一套加法器：\(a - b\) 就按 \(a + (b\text{ 的补码})\) 计算。
例：8 位下算 \(5 - 3\)（\(-3\) 的补码 = 11111101）：
反向 \(3 - 5\)（\(-5\) 的补码 = 11111011）：
0 唯一。 原码、反码里 \(+0\) 和 \(-0\) 各占一个编码，判等还要特判；补码里 0 只有一种写法，多出的 10000000 表示 \(-128\)——这就是“负数比正数多一个”的来源。
范围与溢出¶
n 位补码的范围：
以 8 位清点：负数 \(-128 \sim -1\) 共 128 个，\(0\) 一个，正数 \(1 \sim 127\) 共 127 个，合计 \(256 = 2^8\)，编码不重复不遗漏。
| 位数 | 补码（有符号）范围 | 无符号范围 |
|---|---|---|
| 8 | \(-128 \sim 127\) | \(0 \sim 255\) |
| 16 | \(-32768 \sim 32767\) | \(0 \sim 65535\) |
32（int） |
\(-2147483648 \sim 2147483647\) | \(0 \sim 4294967295\) |
超出范围就是溢出：8 位下 \(127 + 1\) 的补码结果是 10000000，反而变成 \(-128\)。
练习题目¶
练习 1 · 正数三码相同¶
题目
\(+45\) 的 8 位补码是（ ）
- A. \(10101101\)
- B. \(00101101\)
- C. \(11010010\)
- D. \(11010011\)
答案与解析
答案：B
正数三码相同：\(45 = 32+8+4+1 = 101101_2\) → 00101101。A/C/D 都是负数 \(-45\) 的三码——只有负数才需要取反加一。
练习 2 · 求负数的反码¶
题目
\(-45\) 的 8 位反码是（ ）
- A. \(11010010\)
- B. \(11010011\)
- C. \(10101101\)
- D. \(00101101\)
答案与解析
答案：A
先写原码：\(45 = 0101101_2\)，符号位改 1 → 10101101；符号位不动、数值位取反 0101101 → 1010010 → 反码 11010010。B 是反码多加了 1（那是补码）。
练习 3 · 求负数的补码¶
题目
\(-45\) 的 8 位补码是（ ）
- A. \(11010010\)
- B. \(10101101\)
- C. \(11010011\)
- D. \(10101110\)
答案与解析
答案：C
原码 10101101 → 反码 11010010 → 加 1 → 补码 11010011。三步连做：原码 → 取反（数值位）→ 加一。
练习 4 · 补码求真值¶
题目
8 位补码 \(11101011\) 表示的十进制数是（ ）
- A. \(-21\)
- B. \(-11\)
- C. \(-20\)
- D. \(11\)
答案与解析
答案：A
快捷法：从右往左第 1 位就是 1，它不动，左边除符号位外取反（数值位 \(1101011 \to 0010100\)）→ 原码 10010101 = \(-(16+4+1) = -21\)。
练习 5 · 快捷法（第一个 1 不在末位）¶
题目
8 位补码 \(11010100\) 的原码是（ ）
- A. \(10101011\)
- B. \(11010100\)
- C. \(10101101\)
- D. \(10101100\)
答案与解析
答案：D
从右往左第一个 1 在第 3 位：右边 100 不动，左边（符号位除外）1010 取反成 0101 → 原码 1 | 0101 | 100 = 10101100，真值 \(-44\)。
练习 6 · −1 的补码¶
题目
8 位补码表示的 \(-1\) 是（ ）
- A. \(10000001\)
- B. \(11111110\)
- C. \(11111111\)
- D. \(10000000\)
答案与解析
答案：C
原码 10000001 → 反码 11111110 → 加 1 → 11111111。全 1 就是 −1；A 是 −1 的原码，别混淆。
练习 7 · 0 的表示¶
题目
关于数 0 的表示，正确的是（ ）
- A. 原码中 0 只有一种表示
- B. 反码中 0 只有一种表示
- C. 补码中 0 有两种表示
- D. 补码中 0 只有一种表示
答案与解析
答案：D
原码有 \(+0\) = 00000000、\(-0\) = 10000000 两种；反码有 00000000、11111111 两种；补码中 \(-0\) 的 11111111 + 1 = 00000000 回到 \(+0\)——只有一种。
练习 8 · 10000000 的含义¶
题目
8 位补码 \(10000000\) 表示的数是（ ）
- A. \(-0\)
- B. \(-127\)
- C. \(-128\)
- D. \(128\)
答案与解析
答案：C
补码里没有 \(-0\)：省下的 10000000 分给 \(-128\)。若按无符号解读它才是 \(128\)——先看题目问的是哪种编码。
练习 9 · 8 位补码范围¶
题目
8 位补码能表示的整数范围是（ ）
- A. \(-127 \sim 127\)
- B. \(-128 \sim 127\)
- C. \(-128 \sim 128\)
- D. \(-127 \sim 128\)
答案与解析
答案：B
套公式 \([-2^{7},\ 2^{7}-1] = [-128,\ 127]\)。A 是原码的范围（原码表示不了 \(-128\)）。
练习 10 · 减法变加法¶
题目
用 8 位补码计算 \(3 - 5\)，结果的补码是（ ）
- A. \(11111110\)
- B. \(10000010\)
- C. \(11111100\)
- D. \(00000010\)
答案与解析
答案：A
\(3\) = 00000011，\(-5\) 的补码 = 11111011；相加 = 11111110（无进位），它就是 \(-2\) 的补码。
练习 11 · 16 位补码最小值¶
题目
16 位补码能表示的最小整数是（ ）
- A. \(-32767\)
- B. \(-32768\)
- C. \(-32769\)
- D. \(-65536\)
答案与解析
答案：B
最小值 = \(-2^{15} = -32768\)（即 1000000000000000）。
练习 12 · 同一串二进制的两种解读¶
题目
二进制 \(10000000\) 作为无符号数和作为 8 位补码，分别是（ ）
- A. \(128\) 和 \(-0\)
- B. \(128\) 和 \(-128\)
- C. \(256\) 和 \(-128\)
- D. \(-128\) 和 \(128\)
答案与解析
答案：B
无符号：最高位也是数值位，\(10000000 = 128\)；补码：最高位是符号位，表示 \(-128\)。同一串 bit，解读规则不同结果不同。
练习 13 · 补码（正数）求真值¶
题目
8 位补码 \(01101010\) 表示的十进制数是（ ）
- A. \(106\)
- B. \(-106\)
- C. \(104\)
- D. \(96\)
答案与解析
答案：A
符号位是 0 → 正数，三码相同，直接按权展开：\(64+32+8+2 = 106\)。
干扰项：B 见 1 多就把负号扣上来；C 漏加末位的 \(2\)。
练习 14 · 补码（尾零型）求真值¶
题目
8 位补码 \(11110000\) 表示的十进制数是（ ）
- A. \(-15\)
- B. \(-240\)
- C. \(240\)
- D. \(-16\)
答案与解析
答案：D
快捷法：从右往左第一个 1 在第 5 位，它和右边 10000 不动，左边（符号位除外）1110 取反成 0001 → 原码 10010000 = \(-16\)。
干扰项：C 按无符号算（\(11110000 = 240\)）；B 无符号值还扣错负号；A 多减了一个 1。
练习 15 · 求 −2 的补码¶
题目
\(-2\) 的 8 位补码是（ ）
- A. \(10000010\)
- B. \(11111101\)
- C. \(11111110\)
- D. \(11111111\)
答案与解析
答案：C
原码 10000010 → 反码 11111101 → 加 1 → 11111110。
干扰项：B 是反码（忘加一）；A 是原码；D 是 \(-1\) 的补码（多加了一次 1）。
练习 16 · 求负数的反码（−7）¶
题目
\(-7\) 的 8 位反码是（ ）
- A. \(11111000\)
- B. \(11111001\)
- C. \(10000111\)
- D. \(11110111\)
答案与解析
答案：A
原码 10000111 → 符号位不动、数值位取反 0000111 → 1111000 → 反码 11111000。
干扰项：B 是补码（反码多加了 1）；C 是原码。
练习 17 · 8 位原码的范围¶
题目
8 位原码能表示的整数范围是（ ）
- A. \(-128 \sim 127\)
- B. \(-127 \sim 127\)
- C. \(-128 \sim 128\)
- D. \(-127 \sim 128\)
答案与解析
答案：B
原码负数最小是 11111111 = \(-127\)；\(-0\) 与 \(+0\) 占两个编码但值相同，\(-128\) 的原码需要 9 位，写不下。
干扰项：A 是补码的范围——原码没有把 \(-0\) 的编码让给 \(-128\)。
练习 18 · 正数与负数的个数¶
题目
8 位补码中，负数与正数分别有（ ）个。
- A. \(127\) 与 \(127\)
- B. \(127\) 与 \(128\)
- C. \(128\) 与 \(128\)
- D. \(128\) 与 \(127\)
答案与解析
答案：D
负数 \(-128 \sim -1\) 共 \(128\) 个；正数 \(1 \sim 127\) 共 \(127\) 个；\(0\) 单独占一个编码。
干扰项：C 忘了 \(0\) 也占掉一个编码（总数 \(256 = 128 + 1 + 127\)）。
练习 19 · 编码总数¶
题目
n 位二进制编码一共能表示（ ）个不同的数。
- A. \(2^{n-1}\)
- B. \(2^{n}-1\)
- C. \(2^{n}\)
- D. \(2^{n}+1\)
答案与解析
答案：C
每一位 2 种取值，共 \(2^n\) 个编码。8 位 = \(256\) 个：\(128\) 个负数 + \(1\) 个零 + \(127\) 个正数。
干扰项：B 把“最大值 \(2^n - 1\)”当成了个数。
练习 20 · 快捷法正向（原码 → 补码）¶
题目
原码 \(10011001\)（\(-25\)）直接用快捷法求补码，结果是（ ）
- A. \(11100110\)
- B. \(11100111\)
- C. \(01100110\)
- D. \(11101001\)
答案与解析
答案：B
从右往左第一个 1 在末位：它不动，左边除符号位外取反 \(001100 \to 110011\) → 补码 11100111，与“反码 + 1”结果一致。
干扰项：A 只做了取反（那是反码）；C 符号位跟着一起翻了。
练习 21 · 溢出演算¶
题目
用 8 位补码计算 \(100 + 50\)，结果的补码与真值是（ ）
- A. 补码 \(10010110\)，真值 \(-106\)
- B. 补码 \(10010110\)，真值 \(150\)
- C. 补码 \(10010111\)，真值 \(151\)
- D. 补码 \(01110110\)，真值 \(118\)
答案与解析
答案：A
\(100\) = 01100100，\(50\) = 00110010，相加 = 10010110——最高位变成 1，按补码解读是负数：数值位取反加一得 1101010，原码 11101010 = \(-106\)。\(150 > 127\) 超出范围，溢出后正数变负数。
干扰项：B 结果位串对了，但最高位已经是符号位，不能当正数读。
练习 22 · 补码 10000001 的真值¶
题目
8 位补码 \(10000001\) 表示的十进制数是（ ）
- A. \(-1\)
- B. \(-127\)
- C. \(-128\)
- D. \(129\)
答案与解析
答案：B
数值位取反 0000001 → 1111110，加 1 = 1111111 = \(127\) → 原码 11111111 = \(-127\)。
干扰项：A 把它当原码读（原码 10000001 才是 \(-1\)）；D 按无符号读。
练习 23 · 最大正数的补码¶
题目
8 位补码能表示的最大正数的补码是（ ）
- A. \(01111110\)
- B. \(11111111\)
- C. \(10000000\)
- D. \(01111111\)
答案与解析
答案：D
符号位为 0、数值位全 1：\(01111111 = 2^7 - 1 = 127\)。
干扰项：B 是 \(-1\)（全 1 在补码里是负数）；C 是 \(-128\)。
练习 24 · 无符号整数最大值¶
题目
32 位无符号整数（unsigned int）能表示的最大值是（ ）
- A. \(2147483647\)
- B. \(2147483648\)
- C. \(4294967295\)
- D. \(4294967296\)
答案与解析
答案：C
无符号 32 位范围 \([0,\ 2^{32}-1]\)，最大值 \(= 4294967295\)。
干扰项：A 是有符号 int 的最大值；D 是编码总数 \(2^{32}\)，最大值要少 1。
练习 25 · 为什么用补码¶
题目
计算机内部用补码存储整数的主要原因是（ ）
- A. 可以省掉符号位，多表示一倍的数
- B. 减法可以转化为加法，且 0 的表示唯一
- C. 补码的形式更短，节省存储空间
- D. 补码可以直接支持乘法和除法
答案与解析
答案：B
补码把 \(a - b\) 变成 \(a + (b\text{ 的补码})\)，CPU 只需一套加法器；同时 0 只有唯一编码，多出的编码表示 \(-128\)。
干扰项：A 符号位依然存在（最高位）；C/D 与补码的动机无关。
历年真题¶
2024 年 · 第 1 题¶
题目
32 位 int 类型的存储范围是？（ ）
- A. \(-2147483647 \sim +2147483647\)
- B. \(-2147483647 \sim +2147483648\)
- C. \(-2147483648 \sim +2147483647\)
- D. \(-2147483648 \sim +2147483648\)
答案与解析
答案：C
32 位补码范围 \([-2^{31},\ 2^{31}-1] = [-2147483648,\ 2147483647]\)。负数比正数多一个——A 是“正负对称”的直觉错误。
易错小结¶
- 正数三码相同，别多做一步“取反加一”；
- \(-1\) 的补码是全 1（
11111111），全 1 不是 \(-127\)/\(-128\)； - 补码里没有 \(-0\)：
10000000表示 \(-128\)（负数多一个的来源）； - 补码 ↔ 原码来回用同一套操作：取反加一，或“从右往左第一个 1 及其右边不动、左边（符号位除外）取反”；
- 范围题记“负多正少”：8 位 \(-128 \sim 127\)、16 位 \(-32768 \sim 32767\)、32 位
int\(-2147483648 \sim 2147483647\)。