数学杂项¶
方法速览¶
| 任务 | 方法 | 口诀 |
|---|---|---|
| 余数方程 | 逐个枚举 / 中国剩余定理思路 | 从最大的模开始试 |
| 数位和迭代 | 反复 \(f\) 直到不动点，倒推范围 | 算到不动点 |
| 逆元 | 模数质数用费马小定理 \(a^{p-2}\)；一般用扩展欧几里得 | 质数幂、一般扩欧 |
| 等比数列 | \(a_n = a_1 q^{n-1}\)；中间项 \(= a_1 q^{(n-1)/2}\) | 首尾开方即中间 |
| 期望 | 总收益 ÷ 情形数；期望可加 | 枚举求平均 |
余数方程¶
【例】（2020 真题）\(n \equiv 2\pmod 3\)、\(n \equiv 3\pmod 5\)、\(n \equiv 4\pmod 7\)、\(n < 60\)：
| 步骤 | 演算 |
|---|---|
| 从模 7 入手 | \(n \in \{4, 11, 18, 25, 32, 39, 46, 53\}\) |
| 验模 5 | \(n \bmod 5 = 3\)：\(18, 53\) |
| 验模 3 | \(53 \bmod 3 = 2\) ✓（\(18 \bmod 3 = 0\) ✗） |
\(n = 53 \in (50, 60)\)。
数位和与不动点¶
【例】（2023 真题）十六进制数位和 \(f\)、迭代到不动点为 9，在 \(100_{16}\sim1A0_{16}\) 中计数：枚举验证 \(100_{16} \sim 1A0_{16}\)（共 161 个数）中迭代不动点是 9 的恰 11 个。
【例】（2024 真题）十进制 \(f(f(x)) = 10\) 的最小 x：\(f(x) = 19\) 最省位数的取法是 \(199\)（\(1+9+9=19\)，\(1+9=10\) ✓）；29 的 \(f = 11\)、\(f(11) = 2\) ✗——答案 199。
逆元¶
【是什么】 \(a\) 在模 \(m\) 下的乘法逆元 \(a^{-1}\)：满足 \(a\cdot a^{-1} \equiv 1 \pmod m\)。
【怎么算】
| 条件 | 方法 |
|---|---|
| \(m\) 是质数 | 费马小定理：\(a^{-1} \equiv a^{p-2} \pmod p\)（快速幂） |
| \(\gcd(a,m)=1\) 一般 m | 扩展欧几里得解 \(ax + my = 1\) |
| \(\gcd(a,m) \ne 1\) | 逆元不存在 |
等比数列¶
【例】（2019 真题）奇数项、首项 2、末项 118098、中间项 486：中间项 \(= \sqrt{2\times118098} = \sqrt{236196} = 486\) ✓；公比 \(q = \sqrt{486/2} = \sqrt{243} = 3\)。
练习题目¶
练习 1 · 余数方程（小）¶
题目
满足 \(n \bmod 3 = 1\)、\(n \bmod 5 = 2\) 的最小正整数是（ ）
- A. \(37\)
- B. \(22\)
- C. \(7\)
- D. \(52\)
答案与解析
答案：C
枚举模 5 余 2 的数 \(2,7,12,\dots\)：7 mod 3 = 1 ✓。
练习 2 · 余数方程（双模）¶
题目
\(n \bmod 4 = 3\) 且 \(n \bmod 7 = 2\)，\(n < 40\) 的解是（ ）
- A. \(11\)
- B. \(23\)
- C. \(30\)
- D. \(19\)
答案与解析
答案：B
模 7 余 2：\(2,9,16,23,30,37\)；其中 mod 4 = 3 的是 \(23\)（\(23 = 5\times4+3\)）。
练习 3 · 数位和¶
题目
\(f(n)\) = 十进制数位和。$f(9876) = $（ ）
- A. \(24\)
- B. \(30\)
- C. \(36\)
- D. \(39\)
答案与解析
答案：B
\(9+8+7+6 = 30\)。
练习 4 · 数位和迭代¶
题目
$f(f(999)) = $（ ）
- A. \(27\)
- B. \(18\)
- C. \(9\)
- D. \(3\)
答案与解析
答案：C
\(f(999) = 27\)，\(f(27) = 9\)。
练习 5 · 逆元存在性¶
题目
模 6 下存在乘法逆元的 a 是（ ）
- A. \(5\)
- B. \(2\)
- C. \(3\)
- D. \(4\)
答案与解析
答案：A
\(\gcd(a, 6) = 1\) 才有逆元：只有 1、5；\(5\times5 = 25 \equiv 1 \pmod 6\) ✓。
练习 6 · 费马小定理求逆¶
题目
模 7 下 3 的逆元是（ ）
- A. \(3\)
- B. \(4\)
- C. \(2\)
- D. \(5\)
答案与解析
答案：D
\(3\times5 = 15 \equiv 1 \pmod 7\)；或费马小定理 \(3^{7-2} = 3^5 = 243 \equiv 5 \pmod 7\)。
练习 7 · 逆元的求法¶
题目
模数 m 不是质数时求逆元的通用方法是（ ）
- A. 费马小定理
- B. 扩展欧几里得算法
- C. 线性筛
- D. 快速幂
答案与解析
答案：B
质数才能用 \(a^{p-2}\)；一般模数解 \(ax + my = 1\) 用扩欧（2024 真题）。
练习 8 · 等比中项¶
题目
等比数列首项 3、末项 243（奇数项），中间项是（ ）
- A. \(81\)
- B. \(9\)
- C. \(27\)
- D. \(36\)
答案与解析
答案：C
中间项 \(=\sqrt{3\times243} = \sqrt{729} = 27\)。
练习 9 · 等比公比¶
题目
等比数列首项 2、第 5 项 162，公比是（ ）
- A. \(\pm3\)
- B. \(2\)
- C. \(4\)
- D. \(3\)
答案与解析
答案：D
\(2q^4 = 162\) → \(q^4 = 81\) → \(q = 3\)。
练习 10 · 等比求和¶
题目
$1 + 3 + 9 + 27 + 81 = $（ ）
- A. \(243\)
- B. \(121\)
- C. \(122\)
- D. \(120\)
答案与解析
答案：B
\(\dfrac{3^5 - 1}{3-1} = \dfrac{242}{2} = 121\)。
练习 11 · 等差求和¶
题目
$1+2+\cdots+100 = $（ ）
- A. \(4950\)
- B. \(5000\)
- C. \(1010\)
- D. \(5050\)
答案与解析
答案：D
\(\frac{100\times101}{2} = 5050\)。
练习 12 · 期望线性¶
题目
掷一枚均匀骰子得 x 元（x 为点数），期望收益（ ）
- A. \(3.5\) 元
- B. \(3\) 元
- C. \(4\) 元
- D. \(3.6\) 元
答案与解析
答案：A
\(\frac{1+2+\cdots+6}{6} = 3.5\)。
练习 13 · 期望可加¶
题目
同时掷两枚均匀骰子，点数之和的期望是（ ）
- A. \(7\)
- B. \(6\)
- C. \(6.5\)
- D. \(7.5\)
答案与解析
答案：A
期望线性可加：\(3.5 + 3.5 = 7\)——不用枚举 36 种情形。
练习 14 · 模运算性质¶
题目
\((a + b) \bmod m\) 与 \((a \bmod m + b \bmod m) \bmod m\)（ ）
- A. 不确定
- B. 不等
- C. 只在 a<b 时相等
- D. 相等
答案与解析
答案：D
模对加减乘封闭（可先取模再算）；除法不行。
练习 15 · 快速幂取模¶
题目
$2^{10} \bmod 1000 = $（ ）
- A. \(24\)
- B. \(1024\)
- C. \(4\)
- D. \(124\)
答案与解析
答案：A
\(2^{10} = 1024\)，\(1024 \bmod 1000 = 24\)。
练习 16 · 质数判定应用¶
题目
模 \(p\) 下费马小定理 \(a^{p-1} \equiv 1\) 成立需要（ ）
- A. p 是奇数
- B. p 是质数且 \(\gcd(a,p)=1\)
- C. a 是质数
- D. 任意 p
答案与解析
答案：B
两个条件缺一不可（\(a = p\) 时 \(a^{p-1} \equiv 0\)）。
练习 17 · 不动点概念¶
题目
\(f\) 的不动点指满足（ ）的 n。
- A. \(f(n) = n\)
- B. \(f(n) = 0\)
- C. \(f(f(n)) = n\)
- D. \(f(n) = 1\)
答案与解析
答案：A
映射到自身的点；数位和迭代的终点就是不动点（1~9 的一位数都是）。
练习 18 · 十六进制数位和¶
题目
$f_{16}(1A0) = $（十六进制数位和）（ ）
- A. \(1A\)
- B. \(10\)
- C. \(11\)
- D. \(21\)
答案与解析
答案：C
\(1 + 10 + 0 = 11\)（A 是 10）。
练习 19 · 最大公约应用¶
题目
长度 84 与 60 的两根木棍截成等长小段（不许剩余），最长每段（ ）
- A. \(12\)
- B. \(6\)
- C. \(21\)
- D. \(4\)
答案与解析
答案：A
\(\gcd(84,60) = 12\)。
练习 20 · 最小公倍应用¶
题目
甲每 6 天、乙每 8 天同时锻炼，上次同日是今天，下次同日在（ ）天后。
- A. \(24\)
- B. \(48\)
- C. \(12\)
- D. \(14\)
答案与解析
答案：A
\(\text{lcm}(6,8) = 24\)。
练习 21 · 进位破坏¶
题目
两个三位数相加可能是四位数，说明（ ）
- A. 不可能
- B. 乘法
- C. 溢出错误
- D. 最高位相加产生进位
答案与解析
答案：D
最高位进位使位数 +1。
练习 22 · 平方数识别¶
题目
下列是平方数的是（ ）
- A. \(2026\)
- B. \(2024\)
- C. \(2023\)
- D. \(2025\)
答案与解析
答案：D
\(45^2 = 2025\)——末位 5 的平方末两位必是 25。
练习 23 · 数字谜¶
题目
\(\overline{AB} + \overline{BA} = 121\)（A、B 是数字），则 A + B =（ ）
- A. \(11\)
- B. \(10\)
- C. \(12\)
- D. \(9\)
答案与解析
答案：A
\(\overline{AB} + \overline{BA} = 11(A+B) = 121\) → \(A+B = 11\)。
练习 24 · 抽屉（数学场景）¶
题目
任取 5 个整数，其中必有 3 个数之和是 3 的倍数（按余数分类），依据是（ ）
- A. 费马小定理
- B. 排列组合
- C. 抽屉原理：3 个余数抽屉中 5 个数必有一类凑齐或三类各一
- D. 容斥
答案与解析
答案：C
余数 0/½ 三抽屉：某类 ≥3 或三类各有，两种情况都能凑出和为 3 的倍数。
练习 25 · 近似估算¶
题目
\(2^{40}\) 最接近（ ）
- A. \(10^{12}\)
- B. \(10^{10}\)
- C. \(10^{14}\)
- D. \(10^{8}\)
答案与解析
答案：A
\(2^{10} \approx 10^3\) → \(2^{40} \approx 10^{12}\)。
练习 26 · 综合判断¶
题目
下列说法错误的是（ ）
- A. 模乘可先取模再乘
- B. 逆元存在当且仅当 \(\gcd(a, m) = 1\)
- C. 费马小定理对任意模数成立
- D. 期望具有线性可加性
答案与解析
答案：C
费马小定理要求模数是质数——C 说“任意模数”是错的；A/B/D 都是真命题。
历年真题¶
2019 年 · 第 14 题¶
题目
有一个等比数列，共有奇数项，其中第一项和最后一项分别是 \(2\) 和 \(118098\)，中间一项是 \(486\)，请问以下哪个数是可能的公比？（ ）
- A. \(2\)
- B. \(5\)
- C. \(4\)
- D. \(3\)
答案与解析
答案：D
中间项 \(=\sqrt{2\times118098} = 486\) 验证一致；公比 \(=\sqrt{486/2} = \sqrt{243} = 3\)。
2020 年 · 第 10 题¶
题目
一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就多四人，问这个班的学生人数 \(n\) 在以下哪个区间？已知 \(n<60\)。（ ）
- A. \(30<n<40\)
- B. \(40<n<50\)
- C. \(50<n<60\)
- D. \(20<n<30\)
答案与解析
答案：C
从模 7 余 4 枚举再筛模 5、模 3：唯一解 \(n = 53 \in (50,60)\)（逐步筛选表见教学节）。
2020 年 · 第 15 题¶
题目
1948 年，（ ）将热力学中的熵引入信息通信领域，标志着信息论研究的开端。
- A. 欧拉（Leonhard Euler）
- B. 冯·诺伊曼（John von Neumann）
- C. 克劳德·香农（Claude Shannon）
- D. 图灵（Alan Turing）
答案与解析
答案：C
香农 1948 年《通信的数学理论》创立信息论。
2023 年 · 第 8 题¶
题目
一位玩家正在玩一个特殊的掷骰子游戏，游戏要求连续掷两次骰子，收益规则如下：玩家第一次掷出 \(x\) 点，得到 \(2x\) 元；第二次掷出 \(y\) 点，当 \(y=x\) 时玩家会失去之前得到的 \(2x\) 元，而当 \(y \ne x\) 时玩家能保住第一次获得的 \(2x\) 元。其中 \(x,y\in\{1,2,3,4,5,6\}\)。
例如，玩家第一次掷出 \(3\) 点得到 \(6\) 元后，第二次再次掷出 \(3\) 点，会失去之前得到的 \(6\) 元，最终收益为 \(0\) 元；如果第二次掷出 \(4\) 点，则最终收益为 \(6\) 元。假设骰子掷出任意一点的概率均为 \(\frac{1}{6}\)，玩家连续掷两次骰子后，所有可能情形下收益的平均值是多少？（ ）
- A. \(7\) 元
- B. \(\frac{35}{6}\) 元
- C. \(\frac{16}{3}\) 元
- D. \(\frac{19}{3}\) 元
答案与解析
答案：B
逐步算：
| 步骤 | 演算 |
|---|---|
| 每个 x 保住的情形 | \(y \ne x\) 共 5 种，收益各 \(2x\) |
| 保住收益合计 | \(5\times(2+4+6+8+10+12) = 5\times42 = 210\) |
| 除以总情形 | \(\dfrac{210}{36} = \dfrac{35}{6}\) 元 |
相同点数（6 种情形）收益为 0，不计入分子。
2023 年 · 第 14 题¶
题目
若 \(n=\sum_{i=0}^{k}16^i x_i\)，定义 \(f(n)=\sum_{i=0}^{k}x_i\)，其中 \(x_i\in\{0,1,\ldots,15\}\)。对于给定自然数 \(n_0\)，存在序列 \(n_0,n_1,n_2,\ldots,n_m\)，其中对于 \(1\le i\le m\) 都有 \(n_i=f(n_{i-1})\)，且 \(n_m=n_{m-1}\)，称 \(n_m\) 为 \(n_0\) 关于 \(f\) 的不动点。问在 \(100_{16}\) 至 \(1A0_{16}\) 中，关于 \(f\) 的不动点为 \(9\) 的自然数个数为（ ）。
- A. \(10\)
- B. \(11\)
- C. \(12\)
- D. \(13\)
答案与解析
答案：B
\(f\) 是十六进制数位和；对 \(100_{16}\sim1A0_{16}\) 逐数迭代到不动点、计数为 9 的（程序枚举验证）= 11 个。
2024 年 · 第 9 题¶
题目
考虑一个自然数 \(n\) 以及一个模数 \(m\)，你需要计算 \(n\) 的逆元（即 \(n\) 在模 \(m\) 意义下的乘法逆元）。（选项为方法选择）
- A. 使用暴力法依次尝试
- B. 使用扩展欧几里得算法
- C. 使用快速幂法
- D. 使用线性筛法
答案与解析
答案：B
题设未保证 m 是质数，扩展欧几里得是通用方法；m 为质数时才能用快速幂 \(n^{m-2}\)。
2024 年 · 第 13 题¶
题目
对于一个整数 \(n\)，定义 \(f(n)\) 为 \(n\) 的各位数字之和。问使 \(f(f(x)) = 10\) 的最小自然数 \(x\) 是多少？
- A. \(29\)
- B. \(299\)
- C. \(199\)
- D. \(399\)
答案与解析
答案：C
要 \(f(x)\) 的数位和是 10 且 \(x\) 最小：\(f(x) = 19\)（\(1+9=10\)）时最小载体是 \(199\)（数位 \(1,9,9\) 和为 19）；29 的 \(f = 11\)、\(f(11) = 2\) ✗。
易错小结¶
- 余数方程从最大模枚举最快（2020 真题唯一解 53）；
- 数位和迭代到不动点；\(f(f(x)) = 10\) 找最小 x 先定 \(f(x) = 19\)（2024 真题 199）；
- 逆元：质数模用费马小定理 \(a^{p-2}\)，一般模用扩展欧几里得（2024 真题）；\(\gcd \ne 1\) 无逆元；
- 等比奇数项：中间项 \(=\sqrt{\text{首}\times\text{末}}\)、公比 \(=\sqrt{\text{中}/\text{首}}\)（2019 真题公比 3）；
- 模对加减乘封闭、对除不封闭；期望线性可加；香农 = 信息论。